Giải bài tập trang 26, 27, 28 Chuyên đề Toán 10 Bài 3 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 26, 27, 28 Chuyên đề Toán 10 Bài 3 - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Hãy quan sát các đẳng thức sau:

1 = 1²

1 + 3 = 4 = 2²

1 + 3 + 5 = 9 = 3²

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²

Lời giải:

HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Xét đa thức p(n) = n² – n + 41.

a) Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố.

b) Hãy đưa ra một dự đoán cho p(n) trong trường hợp tổng quát.

Lời giải:

a) p(1) = 41, p(2) = 43, p(3) = 47, p(4) = 53, p(5) = 61. Do đó p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) đều là các số nguyên tố.

Luyện tập 1 trang 27Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có 1 = 1².

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

$=\frac{k\left(k+1\right)}{2}+\frac{2\left(k+1\right)}{2}$$=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}$$=\frac{\left(k+1\right)\left.\left(k+1\right)+1\right]}{2}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Luyện tập 2 trang 28 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức:

Lời giải:

Bước 1. Khi n = 1, ta có: a¹ – b¹ = a – b.

Vậy khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

a^{k + 1} – b^{k + 1}

= a . a^k – b . b^k

= a . a^k – a . b^k + a . b^k – b . b^k

= a . (a^k – b^k) + b^k . (a – b)

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.