Giải bài tập trang 23 Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 1 - Kết nối tri thức

Giải bài tập trang 23 Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.15 trang 23 Chuyên đề Toán 10:

a) $\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 3x-2y-z=-4\end{array}$;

b) $\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ 3x+2y+5z=7\\ 7x+3y-6z=1\end{array}$;

c) $\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ 3x+2y-5z=5\\ 7x+4y-17z=7\end{array}$;

d) $\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ 2x+3y+2z=7\\ 9x+8y-3z=1\end{array}$.

Lời giải:

a)

$\begin{array}{l}x+y+z=6\\ x+2y+3z=14\\ 3x-2y-z=-4\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ 5y+4z=22\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2z=-8\\ -6z=-18\end{array}\iff \begin{array}{l}x+y+z=6\\ -y-2.3=-8\\ z=3\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x+2+3=6\\ y=2\\ z=3\end{array}\iff \begin{array}{l}x=1\\ y=2\\ z=3\end{array}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = (1; 2; 3).

b)

$\begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ 3x+2y+5z=7\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ 7x+3y-6z=1\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -10y-7z=4\\ -20y+19z=40\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -8y-7z=4\\ -33z=-32\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}2x-2y+z=6\\ -8y-7.\frac{32}{33}=4\\ z=\frac{32}{33}\end{array}\iff \begin{array}{l}2x-2\left(-\frac{178}{165}\right)+\frac{32}{33}=6\\ y=-\frac{178}{165}\\ z=\frac{32}{33}\end{array}\iff \begin{array}{l}x=\frac{79}{55}\\ y=-\frac{178}{165}\\ z=\frac{32}{33}\end{array}.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (x; y; z) = $\left(\frac{79}{55};-\frac{178}{165};\frac{32}{33}\right).$

c)

$\begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ 3x+2y-5z=5\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\iff \begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ 7x+4y-17z=7\end{array}\iff \begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\\ -y-8z=-7\end{array}\iff \begin{array}{l}2x+y-6z=1\\ -y-8z=-7\end{array}.$

Rút y theo z từ phương trình thứ hai ta được y = 7 – 8z. Rút x theo y và z từ phương trình thứ nhất ta được x = $\frac{1-y+6z}{2}=$$\frac{1-\left(7-8z\right)+6z}{2}=7z-3.$Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm và tập nghiệm của hệ là S = {(7z – 3; 7 – 8z; z) | z $\in ℝ\text{}}.$

d) 

$\begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ 2x+3y+2z=7\\ 9x+8y-3z=1\end{array}\iff \begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -11y-24z=-23\\ -22y-48z=49\end{array}\iff \begin{array}{l}5x+2y-7z=6\\ -22y-48z=-46\\ -22y-48z=49\end{array}.$

Từ hai phương trình cuối, suy ra –46 = 49, điều này vô lí.

Vậy hệ ban đầu vô nghiệm.

Bài 1.16 trang 23 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

$\frac{1}{x^3+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

$\iff \frac{1}{x^3+1}=$$\frac{A\left(x^2-x+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}$

$\iff \frac{1}{x^3+1}=$$\frac{\left(A{x}^2-Ax+A\right)+\left(B{x}^2+Bx+Cx+C\right)}{x^3+1}$

$\iff \frac{1}{x^3+1}=$$\frac{\left(A+B\right)x^2+\left(-A+B+C\right)x+\left(A+C\right)}{x^3+1}$

$\iff \begin{array}{l}A+B=0\\ -A+B+C=0\\ A+C=1\end{array}\iff \begin{array}{l}A=\frac{1}{3}\\ B=-\frac{1}{3}\\ C=\frac{2}{3}\end{array}.$

Vậy $A=\frac{1}{3},B=-\frac{1}{3},C=\frac{2}{3}.$

Bài 1.17 trang 23 Chuyên đề Toán 10:

a) Parabol đi qua ba điểm A(2;–1), B(4; 3) và C(–1; 8);

b) Parabol nhận đường thẳng x = $\frac{5}{2}$làm trục đối xứng và đi qua hai điểm M(1; 0), N(5;–4).

Lời giải:

a) Parabol đi qua ba điểm A(2;–1), B(4; 3) và C(–1; 8) nên ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}-1=a{.2}^2+b.2+c\\ 3=a{.4}^2+b.4+c\\ 8=a.{\left(-1\right)}^2+b.\left(-1\right)+c\end{array}\iff \begin{array}{l}4a+2b+c=-1\\ 16a+4b+c=3\\ a-b+c=-1\end{array}.$

Giải hệ này ta được a = $\frac{2}{5},$b = $-\frac{2}{5},$c = $\frac{-9}{5}$

Vậy phương trình của parabol là $y=\frac{2}{5}{x}^2-\frac{2}{5}x-\frac{9}{5}.$

b) Parabol nhận đường thẳng x = $\frac{5}{2}$làm trục đối xứng, suy ra $-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}\Rightarrow$5a + b = 0.

Parabol đi qua hai điểm M(1; 0), N(5;–4), suy ra

$0=a{.1}^2+b.1+c$và $-4=a{.5}^2+b.5+c$

hay a + b + c = 0 và 25a + 5b + c = –4.

Vậy ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}5a+b=0\\ a+b+c=0\\ 25a+5b+c=-4\end{array}.$

Giải hệ này ta được a = –1, b = 5, c = –4.

Vậy phương trình của parabol là y = –x² + 5x – 4.

Bài 1.18 trang 23 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Giả sử đường tròn cần viết có phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 (a² + b² – c > 0).

Vì đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1) nên ta có hệ:

$\begin{array}{l}{0}^2+1^2-2a.0-2b.1+c=0\\ 2^2+3^2-2a.2-2b.3+c=0\\ 4^2+1^2-2a.4-2b.1+c=0\end{array}\iff \begin{array}{l}2b-c=1\\ 4a+6b-c=13\\ 8a+2b-c=17\end{array}.$

Giải hệ này ta được a = 2, b = 1, c = 1 (thoả mãn điều kiện).

Vậy đường tròn cần viết có phương trình x² + y² – 4x – 2y + 1 = 0.

Bài 1.19 trang 23 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Gọi số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài, ta có:

– Có tổng cộng 255 tấn gạo, suy ra 5x + 7y + 10z = 255 (1).

– Đoàn xe có 36 chiếc, suy ra x + y + z = 36 (2).

– Tổng số hai loại xe chở 5 tấn và chở 7 tấn nhiều gấp ba lần số xe chở 10 tấn, suy ra (x + y) = 3z hay x + y – 3z = 0 (2).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}5x+7y+10z=255\\ x+y+z=36\\ x+y-3z=0\end{array}.$

Giải hệ này ta được x = 12, y = 15, z = 9.

Vậy số xe loại chở 5 tấn, chở 7 tấn và chở 10 tấn lần lượt là 12 xe, 15 xe và 9 xe.

Bài 1.20 trang 23 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Gọi khối lượng cà phê mỗi loại Arabica, Robusta và Moka có trong 1 kg cà phê trộn lần lượt là x, y, z (kg).

Như vậy x + y + z = 1 (1).

Theo đề bài, ta có:

– Giá của cà phê trộn là 300 nghìn đồng/kg, suy ra 320x + 280y + 260z = 300 hay 16x + 14y + 13z = 15 (2).

– Lượng cà phê Moka gấp đôi lượng cà phê Robusta trong mỗi gói, suy ra z = 2y hay 2y – z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}x+y+z=1\\ 16x+14y+13z=15\\ 2y-z=0\end{array}.$

Giải hệ này ta được x = $\frac{5}{8},$y = $\frac{1}{8},$z = $\frac{1}{4},$x : y : z = 5 : 1 : 2.

Vậy tỉ lệ của ba loại cà phê là Arabica : Robusta : Moka = 5 : 1 : 2.

Bài 1.21 trang 23 Chuyên đề Toán 10:

Lời giải:

Gọi diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là x, y, z (ha).

Theo đề bài, ta có:

– Có tổng cộng 12 ha đất canh tác, suy ra x + y + z =12 (1).

– Diện tích trồng khoai tây gấp đôi diện tích trồng ngô, suy ra y = 2x hay 2x – y = 0 (2).

– Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng, suy ra 4x + 3y + 4,5z = 45,25 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\begin{array}{l}x+y+z=12\\ 2x-y=0\\ 4x+3y+4,5z=45,25\end{array}.$

Giải hệ này ta được x = 2,5; y = 5; z = 4,5.

Vậy diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là 2,5 ha; 5 ha và 4,5 ha.