Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II

Giải Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 3 trang 99 Toán lớp 10 Đại số:

Một đơn vị sản phẩm I lãi 33 nghìn đồng, một sản phẩm II lãi 55 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất.

*Lời giải

Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất.

Tiền lãi nhà máy nhận được là L = 3x + 5y (nghìn đồng).

Theo đề bài:

Nhóm A cần 2x + 2y (máy);

Nhóm B cần 0x + 2y = 2y (máy);

Nhóm C cần 2x + 4y (máy);

Vì số máy tối đa ở nhóm A là 10 máy, nhóm B là 4 máy, nhóm C là 12 máy nên x, y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

(I) $\begin{array}{c}x\ge 0,y\ge 0\\ 2x+2y\le 10\\ 2y\le 4\\ 2x+4y\le 12\end{array}$

Hay (II) $\begin{array}{c}x\ge 0,y\ge 0\\ y\le 5-x\\ y\le 2\\ y\le -\frac{1}{2}x+3\end{array}$

Khi đó bài toán trở thành: trong các nghiệm của hệ bất phương trình (1) thì nghiệm (x; y) = (x₀;y₀) nào cho L = 3x + 5y lớn nhất.

Lần lượt vẽ các đường thẳng sau trên hệ trục tọa độ.

(d1): x = 0;

(d2): y = 0;

(d3): 2x + 2y = 10;

(d4): 2y = 4;

(d5): 2x + 4y =12;

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) là ngũ giác ABCDE kể cả miền trong.

Ta có: L đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác ABCDE.

Tính giá trị của biểu thức L = 3x + 5y tại các đỉnh ta được:

Tại đỉnh A(0; 2), L = 10

Tại đỉnh B(2; 2), L = 16

Tại đỉnh C(4; 1), L = 17

Tại đỉnh D(5; 0), L = 15

Tại đỉnh E(0; 0), L = 0.

Do đó, L = 3x + 5y lớn nhất là 17 (nghìn đồng) khi: x = 4; y = 1

Vậy để có tiền lãi cao nhất, cần sản xuất 4 đơn vị sản phẩm loại I và 1 đơn vị sản phẩm loại II.

Số tiền lãi thu được là 3.4 + 5.1 = 17 nghìn đồng.

*Phương pháp giải

Gọi x là số đơn vị sản phẩm loại I, y là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất.

- lập các bất phương trình từ dữ kiện của bài toán

- từ các bất phương trình ta lập được 1 hệ bất phương trình

- biểu diễn miền nghiệm trên trục số

- tại mỗi đỉnh tính giá trị. Để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất nên ta sẽ chọn đỉnh có giá trị max

*Lý thuyến cần nắm và các dạng bài toán về bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

ax+by≤c(ax+by≥c,ax+by<c,ax+by>c)$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{by}\ge \mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}\right)$

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

- Cặp số (x0;y0)$\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by≤c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$nếu bất đẳng thức ax0+by0≤c${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0\le \mathrm{c}$đúng.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax+by≤c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax+by=c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x;y)$\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn ax+by>c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}$;

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x;y)$\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn ax+by<c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$;

Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x;y)$\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn ax+by<c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$.

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by≤c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$:

+ Vẽ đường thẳng d:ax+by=c$\mathrm{d}:\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy một điểm M0(x0;y0)${\mathrm{M}}_0\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$không thuộc d.

+ Tính ax0+by0${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0$và so sánh với c.

+ Nếu ax0+by0<c${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0<\mathrm{c}$thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M0${\mathrm{M}}_0$là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ax0+by0>c${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0>\mathrm{c}$thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M0${\mathrm{M}}_0$là miền nghiệm của bất phương trình.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax+by<c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$là miền nghiệm của bất phương trình ax+by≤c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$bỏ đi đường thẳng ax+by=c$\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.