Chuyên đề Thể tích khối đa diện (2022) - Toán 12

Chuyên đề Thể tích khối đa diện - Toán 12

A. Lý thuyết

I. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V_(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V_(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H₁) và (H₂) bằng nhau thì V_(H1) = V_(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂) thì:

V_(H) = V_(H1) + V_(H2).

Số dương V_(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

Ví dụ 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

III. Thể tích khối chóp.

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: $V=\frac{1}{3}B.h$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết  SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60^o. Tính thể tích hình chóp.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều nên AM$\perp$BC$\Rightarrow$SA$\perp$BC (định lí 3 đường vuông góc).

Vậy góc[(SBC);(ABC)] =$\widehat{SMA}={60}^0$

Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao $AM\text{\hspace{0.17em}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan60⁰ =$\frac{3a}{2}$

Vậy  V = $\frac{1}{3}B.h=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.SA$$=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AM.BC.SA$$=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình chóp tam giác đều đáy có cạnh bằng a, góc tạo bởi các mặt bên và đáy bằng 60°. Thể tích khối chóp là:

Lời giải:

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a$\sqrt{2}$ , SA vuông góc với mp đáy. Góc tạo bởi (SBC) và mặt đáy bằng 30°. Thể tích S.ABC bằng

Lời giải:

Câu 3: Cho khối chóp S.ABC. Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A', B', C' sao cho  . Gọi V và V' lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S'.A'B'C' . Khi đó tỷ số  là:

Lời giải:

Câu 4: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60° AB = a. Khi đó thể tích của khối ABCC'B' bằng:

Lời giải:

Câu 5: Tính thể tích V của hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{\sqrt{3}a}{4}$ . Thể tích của hình chóp S.ABC là:

 

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến SM. Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng AH. Ta có:

Do đó đáp án đúng là D

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác vuông ở A, SC vuông góc với đáy, AC = $\frac{a}{2}$, SC = BC = a$\sqrt{2}$ . Mặt phẳng (P) qua C vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại A’, B’. Gọi V là thể tích hình chóp S.ABC, V’ là thể tích hình chóp S.A’B’C. Tính tỉ số k = $\frac{V\text{'}}{V}$

 

Lời giải:

Do CS = CB nên B’ là trung điểm của SB.

Ta có:

Đáp án : C

Cách khác: Từ (a) suy ra

Hai hình chóp C.SA’B’ và C.SBA cùng chiều cao nên

Nhận xét: Một số người không thấy được từ (a) có thể suy ngay ra (b) hoặc (c), mà lại từ đó rút ra tính SA’ để áp dụng công thức

sẽ mất nhiều thời gian.

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác vuông ở A, SC vuông góc với đáy, AC = $\frac{a}{2}$, SC = BC = a$\sqrt{2}$. Mặt phẳng (P) qua C vuông góc với SB cắt SA, SB lần lượt tại A’, B’. Tính thể tích V của hình chóp S.A’B’C.

Lời giải:

Cách 1. Áp dụng ví dụ 2, ta có

Từ đó suy ra

Đáp án A.

Cách 2. Dễ thấy

Khoảng cách từ B’ đến mặt (SAC) bằng

Ta có ΔSCA' ∾ ΔSAC , tỉ số đồng dạng là

Cách 3. Dễ thấy CA' ⊥ (SAB), CB' = SB' = a

Tính

Câu 8: (Đề thi minh họa môn toán kì thi THPTQG năm 2017 của bộ GD-ĐT)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a$\sqrt{2}$ , tam giác SAD cân tại S, mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích S.ABCD bằng $\frac{4a^3}{3}$. Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).

 

Lời giải:

Cách 1. Gọi H là trung điểm của AD, vì ΔASD cân ở S nên SH ⊥ AD.

Vì (SAD)⊥(ABCD) nên SH ⊥ (ABCD). Kẻ HI ⊥ SD.

Vì DC ⊥ AD, DC ⊥ SH nên DC ⊥ (SAD). Do đó DC ⊥ HI.

Kết hợp với HI ⊥ SD, suy ra HI ⊥ (SDC).

Vì AB // (SDC) nên d(B; (SDC)) = d(A; (SDC)) = 2HI

Ta có

Ta lại có

Đáp án B.

Cách 2. Ta có: SH = 2a;

Để ý rằng

Đáp án B.

Câu 9: Cho tứ diện ABCD, có các cạnh DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau. Biết rằng DA = a, DB = a$\sqrt{2}$, DC = 2a. Tính diện tích S của tam giác ABC.

Lời giải:

Kẻ DI ⊥ AB, DH ⊥ CI. Khi đó DH ⊥ (BCA).

Suy ra

Chọn D.

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a$\sqrt{2}$. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại E, I, F. Tính tỉ số k giữa thể tích hình chóp S.AEIF và thể tích hình chóp S.ABCD.

Lời giải:

Cách 1. Do các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu của S lên (ABCD) phải trùng với tâm H của hình vuông ABCD.

Dễ thấy I là trung điểm của SC, vì BD ⊥ SC, nên BD//(P). Do đó EF // BD. Để ý rằng EF đi qua trọng tâm J của tam giác SDB.

Chọn B.

Cách 2. Tính trực tiếp. Dễ thấy EF ⊥ AI

II.Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hình chiếu của S lên đáy trùng với trung điểm của AB. Tính thể tích V của hình chóp đã cho, biết rằng AB = a, BC = a$\sqrt{6}$ , khoảng cách từ A đến mặt (SCD) bằng $\frac{\sqrt{6}a}{3}$

Lời giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD, H là chân đường vuông góc kẻ từ M tới SN. Khi đó SM ⊥ (ABCD). Vì AB // CD nên AB // (ABCD), do đó d(A, (SCD)) = d(M, (SCD)) = MH

Ta có

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SCD là tam giác đều và (SCD) vuông góc với đáy. Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng (SBD).

 

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của CD, dễ thấy SH là đường cao của hình chóp.

Suy ra

Để ý rằng SB² = SH² + BH² = SH² + BC² + CH² = $\frac{3a^2}{4}$ + a² + $\frac{a^2}{4}$ = 2a².

Suy ra BS = BD = a$\sqrt{2}$, gọi K là trung điểm của SD ta có:

Đáp án C.

Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E, F tương ứng là trung điểm của các cạnh A’A, C’C. Gọi M = (D'E) ∩ (DA), N = (D'F) ∩ (DC). Tính tỉ số giữa thể tích hình chóp D’.DMN và thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D'

 

Lời giải:

Dễ thấy MN đi qua B, MD = 2AD, ND = 2CD. Hình chóp và hình hộp nói trên có chung chiều cao h .

Nếu diện tích đáy của hình hộp bằng S thì diện tích đáy của hình chóp bằng 2S.

Ta có:

Câu 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E, F tương ứng là trung điểm các cạnh A’A, C’C. Mặt phẳng (D’EF) chia hình hộp thành hai hình đa diện. Gọi (H) là hình đa diện chứa đỉnh A, (H’) là hình đa diện còn lại. Tính tỉ số k giữa thể tích hình (H) và thể tích hình (H’).

Lời giải:

Gọi M = (D'E) ∩ (DA), N = (D'F) ∩ (DC). Dễ thấy MN đi qua B, các hình chóp E.AMB và F.CNB có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau. Áp dụng công thức (7) ta có :

Áp dụng ví dụ 9, ta có :

Suy ra V(H) = V(H'). Do đó k = 1 .

D là đáp án đúng.

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Lời giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm CD.

Khi đó SO là đường cao hình chóp, góc $\widehat{SMO}$ là góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp.

Chọn đáp án A.

Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a. Mặt bên tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích V của hình chóp S.ABC.

Lời giải:

Gọi H là tâm của tam giác ABC. Trong (SBC), kẻ SI vuông góc BC.

Do góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60⁰ suy ra

Câu 7: Khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khi đó độ dài đường cao h của khối chóp là:

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có : OA = OB = OC = OD và SA = SB = SC = SD

Suy ra : SO là trục đường tròn ngoại tiếp ABCD

⇒ SO ⊥ (ABCD)

Ta có :

Câu 8: Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối chóp đó bằng?

Lời giải:

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau: BA = 3a, BC =BD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính thể tích khối chóp C.BDNM

Lời giải:

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), AB = a, AD = 2. Góc giữa cạnh bên SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°. Thể tích hình chóp S.ABCD bằng?

Lời giải:

III.Bài tập vận dụng

Bài 1 Một lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều ABC cạnh a. Cạnh bên bằng b và hợp với mặt đáy góc 60°. Thể tích hình chóp A'.BCC'B' bằng bao nhiêu?

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a$\sqrt{2}$ , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45°. Thể tích khối chóp S.ABC theo a bằng

Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC cân tại A. Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 30° và 45°, khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA vuông góc với (ABCD) và SA = 2a . Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của DC . Tính thể tích của khối chóp I.OBM 

Bài 5 Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' , biết AB = a , AD = a$\sqrt{2}$ và AC' hợp với đáy một góc 60°.

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có SC ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng a$\sqrt{3}$ và  . Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 7 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Bài 8 Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Thể tích của khối chóp đó là?

Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh bên SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Thể tích của khối chóp đó bằng?

Bài 10 Cho khối chóp S.ABC với SA ⊥ SB , SB ⊥ SC , SC ⊥SA . Biết độ dài SA, SB, SC lần lượt là 3, 5, 6. Thể tích của khối chóp đó bằng?