Chuyên đề Phép chia số phức (2022) - Toán 12

Chuyên đề Phép chia số phức - Toán 12

A. Lý thuyết

1. Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho số phức z = a + bi, ta có:

$z+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overline{z}$= (a + bi) + (a – bi) = 2a;

$z.\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\overline{z}$ = (a + bi). (a – bi) = a² – (bi)² = a² + b² =${\left.z\right|}^2$

Do đó:

+ Tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó.

+ Tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó.

Vậy tổng và tích của hai số phức liên hợp là một số thực.

2. Phép chia hai số phức

Chia số phức c + di cho số phức a + bi khác 0 là tìm số phức z sao cho

 c + di = (a + bi).z. Số phức z được gọi là thương trong phép chia c + di cho a + bi và kí hiệu là: $z=\frac{c+di}{a+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}bi}$.

Ví dụ 1. Thực hiện phép chia 4 – 6i cho 1 + i.

Lời giải:

Giả sử $z=\frac{4-6i}{1+i}$

Theo định nghĩa ta có: (1 + i).z = 4 – 6i.

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của 1 + i ta được:

(1 – i) .(1 + i).z = (1 – i).(4 – 6i)

Suy ra: 2z = – 2 – 10i

Do đó, z = –1 – 5i

Vậy $\frac{4-6i}{1+\text{}i}=-1-5i$.

– Tổng quát:

Giả sử $z=\frac{c+di}{a+bi}$. Theo định nghĩa phép chia số phức, ta có:

(a + bi).z = c + di

Nhân cả hai vế với số phức liên hợp của a + bi, ta được:

(a – bi)(a + bi).z = (a – bi)(c + di)

Hay (a² + b²).z = (ac + bd) + (ad – bc).i

– Chú ý. Trong thực hành để tính thương $\frac{c+\text{}di}{a+bi}$, ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của a + bi.

Ví dụ 2. Thực hiện phép chia 2 – 4i cho 2 + i.

Lời giải:

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Các số thực x, y thỏa mãn

Khi đó, tổng T = x + y bằng

A. 4   

B.5    

C. 6    

D. 7.

Lời giải:

Ta có

Vậy T = -2 + 8 = 6

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 - i)² = 4 + i. Môđun của số phức w = (z + 1)z− là

A. 2    

B. 4   

C. 10    

D. $\sqrt{10}$

Lời giải:

Ta có:

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn  Môđun của số phức w = z + i + 1 là

A. 3    

B. 4   

C. 5   

D. 6.

Lời giải:

Bài 4: Nghịch đảo của số phức z = 1 - 2i là

Lời giải:

Ta có

Chọn đáp án D.

Bài 5: Số phức

A. -1+i   

B.1-i    

C. -1-i   

D. 1+5i.

Lời giải:

Ta có

Chọn đáp án A.

Bài 6: Số phức z thỏa mãn z(1 + 2i) + 1 - i = 2i là

A. -1+i   

B. 1-i   

C. 1+i   

D. -1-i.

Lời giải:

Ta có:z(1 + 2i) + 1 - i = 2i là <=> z(1 + 2i) = -1 + 3i

Do đó:

Chọn đáp án C.

Bài 7: Nghịch đảo của số phức z = 1 + i là

Lời giải:

Nghịch đảo của số phức z = 1 + i là

Bài 8: Phần thực và phần ảo của số phức

A. 0 và 1   

B. 0 và i   

C. 0 và -1   

D. 0 và – i.

Lời giải:

Ta có

Vậy phần thực và phần ảo của z là 0 và -1

Bài 9: Cho số phức

Phần thực và phần ảo của số phức w = (z + 1)(z + 2) là

A. 2 và 1   

B. 1 và 3   

C. 2 và i   

D. 1 và 3i.

Lời giải:

Ta có

Suy ra w = (z + 1)(z + 2) = (i + 1)(i + 2) = -1 + 2i + i + 2 = 1 + 3i

Vậy phần thực và phần ảo của w là 1 và 3

Bài 10: Số phức

Lời giải:

Ta có

II.Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn (2 + 3i)z = 1 Khi đó, $\overline{z}$ + 2z bằng

Lời giải:

Ta có: (2 + 3i)z = 1 - 5i. Do đó

⇒ z− = -1 + i

Bài 2: Nghịch đảo của số phức z = 1 - 2i là?

Lời giải:

Ta có

Bài 3: Số phức

Lời giải:

Ta có

Câu 4: Số phức z thỏa mãn z(1 + 2i) + 1 - i = 2i là

Lời giải:

Ta có:z(1 + 2i) + 1 - i = 2i là <=> z(1 + 2i) = -1 + 3i

Do đó:

Câu 5: Nghịch đảo của số phức z = 1 + i là?

Lời giải:

Nghịch đảo của số phức z = 1 + i là

Câu 6: Phần thực và phần ảo của số phức

Lời giải:

Ta có

Vậy phần thực và phần ảo của z là 0 và -1

Câu 7: Cho số phức

Phần thực và phần ảo của số phức w = (z + 1)(z + 2) là

Lời giải:

Ta có

Suy ra w = (z + 1)(z + 2) = (i + 1)(i + 2) = -1 + 2i + i + 2 = 1 + 3i

Vậy phần thực và phần ảo của w là 1 và 3

Câu 8: Số phức

 

Lời giải:

Ta có

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn (2 + 3i)z = 1 Khi đó, z− + 2z bằng

Lời giải:

Ta có: (2 + 3i)z = 1 - 5i. Do đó

⇒ z− = -1 + i

Câu 10: Các số thực x, y thỏa mãn

Khi đó, tổng T = x + y bằng?

Lời giải:

Ta có

Vậy T = -2 + 8 = 6

III.Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho số phức z thỏa mãn  Môđun của số phức w = z + i + 1 là?

Bài 2 Cho số phức z thỏa mãn (3 + 2i)z + (2 - i)² = 4 + i. Môđun của số phức w = (z + 1)$\overline{z}$ là?

Bài 3 Cho số phức z thỏa mãn (2 + 3i)z = 1 Khi đó, $\overline{z}$ + 2z bằng?

Bài 4 Cho z = 2 + 3i. Hãy tính z + $\overline{u}$ và z.$\overline{u}$. Nêu nhận xét.

Bài 5 Thực hiện các phép chia sau:

Bài 5 Thực hiện các phép chia sau:

Bài 6 Tìm nghịch đảo của z là:

a) z = 1 + 2i

b) z = $\sqrt{2}$ - 3i

c) z = i

d) z = 5 + i$\sqrt{3}$

Bài 7 Thực hiện các phép tính sau:

Bài 8 Giải các phương trình sau:

Bài 9 Số phức  có phần thực là?

Bài 10 Nghịch đảo của số phức z = 1 + i là?