Chuyên đề Số phức (2022) - Toán 12

Chuyên đề Số phức - Toán 12

A. Lý thuyết

1. Số i.

Số i là số thỏa mãn: i² = –1.

2. Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a + bi , trong đó $a;b\in R$; i² = –1 được gọi là một số phức.

Đối với số phức z = a + bi, ta nói: a là phần thực, b là phần ảo của z.

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Ví dụ 1. Các số sau là những số phức: 2 – 3i; –8 + 4i; $5-i\sqrt{2};$$\sqrt{3}+\text{}2i$

Ví dụ 2. Số phức 6 – i có phần thực là 6, phần ảo là – 1.

3. Số phức bằng nhau

– Định nghĩa : Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau :

a + bi = c + di  a = c và b = d.

Ví dụ 3. Tìm các số thực x và y biết :

(2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

Lời giải:

Ta có : (2x – 1) + (y – 2)i = 3 + (4 – y)i

$\iff \begin{array}{c}2x-1=3\\ y-2=4-y\end{array}\iff \begin{array}{c}x=2\\ y=3\end{array}$

Vậy x = 2 và y = 3.

– Chú ý :

a) Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a = a + 0i.

Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức. Ta có : $R\subset C$.

 b) Số phức 0 + bi được gọi là số thuần ảo và viết đơn giản là bi : bi = 0 + bi

Đặc biệt : i = 0 + 1.i

Số i được gọi là đơn vị ảo.

Ví dụ 4. Số phức z có phần thực là $-\frac{1}{2}$ và phần ảo là $\frac{1}{2}$ là $z=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}i$.

4. Biểu diễn hình học số phức

Điểm M(a ; b) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z = a + bi.

Ví dụ 5.

Điểm A biểu diễn số phức 2 – 2i

Điểm B biểu diễn số phức 4.

Điểm C biểu diễn số phức – 2.

Điểm D biểu diễn số phức 2 + 3i.

Điểm E biểu diễn số phức 2.

Điểm F biểu diễn số phức – 3 + 2i.

Điểm G biểu diễn số phức –2 – 3i.

5. Mô đun của số phức.

Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) trên mặt phẳng tọa độ.

Độ dài của vecto $\overrightarrow{OM}$ được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là |z|.

Vậy $\left.z\right|=\left.\overrightarrow{OM}\right|$hay $\left.a+bi\right|=\left.\overrightarrow{OM}\right|$.

Ta thấy: $\left.a+bi\right|=\sqrt{a^2+b^2}$

Ví dụ 6.

6. Số phức liên hợp

– Định nghĩa : Cho số phức z = a + bi. Ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là $\overline{z}=a-bi$.

Ví dụ 7.

Nếu z = – 3 + 5i thì $\overline{z}=-3-5i$.

Nếu z = – 4 + 4i thì $\overline{z}=-4-4i$.

– Nhận xét :

+ Trên  mặt phẳng tọa độ các điểm biểu diễn z và $\overline{z}$ đối xứng nhau qua trục Ox.

+ Từ định nghĩa ta có: $\overline{\overline{z}}=z;\left.\overline{z}\right|=\left.z\right|$.

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Môđun của số phức z = -3 + 4i là

A. 5   

B. -3   

C. 4   

D. 7

Lời giải:

Ta có: z = -3 + 4i

Bài 2: Môđun của số phức z = 2 - $\sqrt{3}$i là

A. $\sqrt{7}$    

B. 2 + $\sqrt{3}$   

C. 2 - $\sqrt{3}$   

D. 7

Lời giải:

Ta có: z = 2 - $\sqrt{3}$i

Bài 3: Số phức z = 1 - 2i có điểm biểu diễn là

A. M (1; 2)   

B. M (1; -2)   

C. M (-1; 2)   

D. M (-1; -2)

Lời giải:

Số phức z = 1 - 2i có điểm biểu diễn là M(1; -2).

Bài 4: Hai điểm biểu diễn hai số phức liên hợp z = 1 + i và z− = 1 - i đối xứng nhau qua

A. Trục tung   

B. Trục hoành   

C. Gốc tọa độ   

D. Điểm I (1; -1)

Lời giải:

Bài 5: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z| = 2 là

A. Hai đường thẳng   

B. Đường tròn bán kính bằng 2

C. Đường tròn bán kính bằng 4   

D. Hình tròn bán kính bằng 2.

Lời giải:

Bài 6: Gọi A, B là các điểm biểu diễn của các số phức z1 = -1 + 2i, z2 = 2 + 3i . Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB là

A. $\sqrt{26}$  

B. $\sqrt{5}$ + $\sqrt{13}$   

C. $\sqrt{10}$   

D. 10

Lời giải:

Ta có: A(-1;2), B(2,3). Do đó:

Bài 7: Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai.

A. Phần thực của z là: 2.

B. Phần ảo của z là: -2.

C. Số phức liên hợp của z là z− = -2 + 2i.

D. Môđun của z là

Lời giải:

Bài 8: Cho số phức z = -1 + 3i. Phần thực, phần ảo của z− là

A. -1 và 3    

B. -1 và -3    

C. 1 và -3    

D. -1 và -3i.

Lời giải:

Bài 9: Môđun của số phức z thỏa mãn z− = 8 - 6i là

A. 2   

B. 10    

C. 14    

D. 2$\sqrt{7}$

Lời giải:

Ta có

Chọn đáp án B.

Bài 10: Tìm các số thực x, y sao cho (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

A. x = 3, y = 1    

B. x = 3, y = -1

C. x = -3, y = -1    

D. x = -3, y = 1

Lời giải:

Ta có (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

Bài 1: Hai số phức z₁ = x - 2i, z_²2 + yi (x, y ∈ R) là liên hợp của nhau khi

Lời giải:

Bài 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thòa mãn |z| = |1 + i| là

Lời giải:

Ta có |1 + i| = $\sqrt{\left(1+1\right)}$ = $\sqrt{2}$. Gọi M là điểm biểu diễn của z ta có |z| = OM.

Do đó: |z| = |1 + i| ⇔ OM = $\sqrt{2}$

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R= $\sqrt{2}$ .

Bài 3: Phần thực của số phức z = -i là

Lời giải:

Bài 4: Phần ảo của số phức z = -1 là

Lời giải:

Bài 5: Số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là

Lời giải:

Bài 6: Cho z = 2i -1. Phần thực và phần ảo của z− là

Lời giải:

Ta có z = 2i - 1 = -1 + 2i ⇔ z− = -1 - 2i. Vậy phần thực của z− là -1 và phần ảo của z− là -2.

Bài 7: Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai.

A. Phần thực của z là: 2.

B. Phần ảo của z là: -2.

C. Số phức liên hợp của z là z− = -2 + 2i.

D. Môđun của z là

Lời giải:

Số phức liên hợp của z là z− = 2 + 2i nên khẳng định C là sai.

Bài 8 Cho số phức z = -1 + 3i. Phần thực, phần ảo của z− là?

Lời giải:

Ta có z = -1 + 3i => z− = -1 - 3i

Vậy phần thực và phần ảo của z− là -1 và -3.

Bài 9 Môđun của số phức z thỏa mãn z− = 8 - 6i là

Lời giải:

Ta có

Bài 10 Tìm các số thực x, y sao cho (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

Lời giải:

Ta có (x – 2y) + (x + y + 4).i = (2x + y) + 2yi.

Vậy x = -3, y = 1.

III.Bài tập vận dụng

Bài 1 Hai số phức z₁ = x - 2i, z²2 + yi (x, y ∈ R) là liên hợp của nhau khi?

Bài 2 Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thòa mãn |z| = |1 + i| là?

Bài 3 Phần thực của số phức z = -i là?

Bài 4 Phần ảo của số phức z = -1 là?

Bài 5 Gọi A, B là các điểm biểu diễn của các số phức z₁ = -1 + 2i, z₂ = 2 + 3i . Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB là?

Bài 6 Số phức liên hợp của số phức z = 1 + i là?

Bài 7 Cho z = 2i -1. Phần thực và phần ảo của z− là?

Bài 8 Môđun của số phức z = -3 + 4i là?

Bài 9Gọi A, B là các điểm biểu diễn của các số phức z₁ = -1 + 2i, z₂ = 2 + 3i . Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB là?

Bài 10 Hai điểm biểu diễn hai số phức liên hợp z = 1 + i và z− = 1 - i đối xứng nhau qua?