Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây

Giải Toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây

Video Giải Bài tập 13 trang 72 Toán lớp 9 Tập 2

Bài tập 13 trang 72 SGK Toán lớp 9 Tập 2:

Lời giải

TH1: Tâm O nằm ngoài hai dây cung song song.

Kẻ hai dây cung AB // CD

Kẻ đường kính MN // AB // CD

Do MN // AB nên ta có:

$\widehat{OAB}=\widehat{AOM}$ (1)  (hai góc so le trong)

$\widehat{OBA}=\widehat{BON}$ (2) (hai góc so le trong)

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}$  (3) (tính chất tam giác cân)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: $\widehat{AOM}=\widehat{BON}$

Mà ta có:

Góc AOM chắn cung nhỏ MCA

Góc BON chắn cung nhỏ NDB

Ta có: MN // CD

$\Rightarrow \widehat{MOC}=\widehat{OCD}$ (5) (hai góc so le trong) ; $\widehat{NOD}=\widehat{ODC}$ (6) (hai góc so le trong)

Xét tam giác OCD có:

OC = OD (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OCD cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{ODC}$ (7) (tính chất tam giác cân)

Từ (5), (6), (7) ta suy ra: $\widehat{MOC}=\widehat{NOD}$

Mà ta có:

Góc MOC chắn cung nhỏ MC

Góc NOD chắn cung nhỏ ND

Mặt khác, ta có: C nằm trên cung nhỏ MCA và D nằm trên cung nhỏ NDB (9)

Từ (4), (8), (9) ta suy ra:

Vậy hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

TH2: O nằm giữa hai dây cung song song

Kẻ hai dây cung AB // CD

Kẻ đường kính MN // AB // CD

Do MN // AB nên ta có:

$\widehat{MOA}=\widehat{OAB}$ (1) (hai góc so le trong)

$\widehat{OBA}=\widehat{BON}$ (2) (hai góc so le trong)

Xét tam giác OAB có:

OA = OB (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OBA}$  (3) (tính chất tam giác cân)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra:  $\widehat{MOA}=\widehat{BON}$

Mà ta có:

Góc MOA chắn cung nhỏ AM

Góc BON chắn cung nhỏ BN

Do  MN // CD nên ta có:

$\widehat{MOC}=\widehat{OCD}$ (5) ( hai góc so le trong)

$\widehat{NOD}=\widehat{ODC}$ (6) ( hai góc so le trong)

Xét tam giác OCD có:

OC = OD (cùng bằng bán kính đường tròn tâm O)

Do đó, tam giác OCD cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OCD}=\widehat{ODC}$ (7) (tính chất tam giác cân)

Từ (5), (6), (7) ta suy ra: $\widehat{MOC}=\widehat{NOD}$

Mà ta có:

Góc MOC chắn cung nhỏ MC

Góc NOD chắn cung nhỏ DN

Mặt khác, ta có: M nằm trên cung nhỏ AC, N nằm trên cung nhỏ BD (9)

Từ (4), (8), (9) ta suy ra:

 Vậy hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.