Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao, xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn

Giải Toán 7 Luyện tập trang 83

Video giải Bài 62 trang 83 Toán lớp 7 Tập 2

Bài 62 trang 83 Toán lớp 7 Tập 2: Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.

Lời giải:

+ TH1: Xét ΔABC vuông tại A có các đường cao AD, BA, CA.

BA, CA là hai đường cao xuất phát từ hai góc nhọn B và C của ΔABC.

Theo đề bài suy ra AB = AC.

ΔABC có AB = AC nên là tam giác cân tại A (đpcm).

+ TH2: Xét ΔABC không có góc nào vuông, hai đường cao BD = CE.

Xét ΔEBC và ΔDCB có :

BC là cạnh chung

CE = BD (giả thiết)

$\widehat{BEC}=\widehat{CDB}=90°$

Do đó ∆EBC = ∆DCB (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{EBC}=\widehat{DCB}$ (hai góc tương ứng)

hay $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Tam giác ABC có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên là tam giác cân.

+ Xét ΔABC ba đường cao BD = CE = AF

Vì CE = BD ⇒ ΔABC cân tại A (như chứng minh trên)

⇒ AB = AC  (1)

Vì CE = AF ⇒ ΔABC cân tại B (như chứng minh trên)

⇒ AB = BC  (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC.

 ΔABC có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều.