Hoạt động 5 trang 75 Toán lớp 10 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

Hoạt động 5 trang 75 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và diện tích S (Hình 24).

a) Từ định lí côsin, chứng tỏ rằng:

$\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$, ở đó $p=\frac{a+b+c}{2}$.

b) Bằng cách sử dụng công thức $S=\frac{1}{2}bc\sin A$, hãy chứng tỏ rằng:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos A (định lí cosin)

$\Rightarrow$cos A = $\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

$\Rightarrow$cos A = $\frac{c^2+b^2-a^2}{2.c.b}$

$\Rightarrow {\cos }^{2}A=\frac{{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}$

Do $\widehat{A}$là góc của tam giác ABC nên $0°<\widehat{A}<180°$.

Do đó sin A > 0.

Lại có cos² A + sin² A = 1 nên sin² A = 1 - cos² A.

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=1-\frac{{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{4b^2{c}^2-{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{\left.{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]\left.a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)}{4b^2{c}^2}$

mà $p=\frac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow$ ${\sin }^{2}A=\frac{2p.2\left(p-a\right).2\left(p-c\right).2\left(p-b\right)}{4b^2{c}^2}$

$\Rightarrow {\sin }^{2}A=\frac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{b^2{c}^2}$

Do sin A > 0 nên $\sin A=\sqrt{\frac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{b^2{c}^2}}$.

Do đó $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

b) Ta có diện tích tam giác ABC: S = $\frac{1}{2}$bc.sin A.

Mà $\sin A=\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$nên S = $\frac{1}{2}$bc. $\frac{2}{bc}\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.

Do đó $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$.