Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm

Giải Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Video Giải Bài 12 trang 106 Toán lớp 9 tập 1

Bài 12 trang 106 Toán lớp 9 tập 1:

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1cm. Kẻ dây CD đi qua I và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.

Lời giải:

a)

Kẻ $OE\perp AB$ tại E

OE là một phần của đường kính

Do đó, E là trung điểm của đoạn thẳng AB

$\Rightarrow EA=EB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.8=4$ (cm)

Xét tam giác OEB vuông tại E (do $OE\perp AB$)

Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

$O{B}^2=O{E}^2+E{B}^2\Rightarrow O{E}^2=O{B}^2-E{B}^2=5^2-4^2=9\Rightarrow OE=\sqrt{9}=3\left(cm\right)$

Vậy khoảng cách từ tâm O đến dây AB là OE = 3cm

b)

Kẻ $OF\perp CD$ tại F

Xét tứ giác FOEI

$\widehat{FIE}={90}^o$ (do AB$\perp$CD tại I)

$\widehat{IFO}={90}^o$ (do $OF\perp CD$ tại F)

$\widehat{IEO}={90}^o$ (do $OE\perp AB$ tại E)

Do đó, tứ giác FOEI là hình chữ nhật

$\Rightarrow OF=EI$

Ta có:

EA = 4cm

AI = 1cm

$\Rightarrow EI=EA-AI=4-1=3$ (cm)

$\Rightarrow$ OF = EI = 3cm

$\Rightarrow$ OF = OE = 3cm

Vậy hai dây AB và CD cách đều tâm, do đó chúng bằng nhau, tức là AB = CD

*Phương pháp giải:

a) Dựa vào định lý pytago

b)

Nếu AB = CD thì OE = OF

Nếu OE = OF thì AB = CD

*Lý thuyết:

Cho đường tròn (O), hai dây AB, DC của đường tròn.

+ Nếu dây AB = CD thì khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến CD.

+ Nếu khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến CD thì dây AB = CD.

Xét hình vẽ trên:

Nếu AB = CD thì OE = OF

Nếu OE = OF thì AB = CD

- Trong hai dây của một đường tròn

+ Dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó có độ dài lớn hơn.

Xét hình vẽ:

Nếu AB > CD thì OE < OF

Nếu OE < OF thì AB > CD