Bài 3 trang 87 Toán 8 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán 8

Giải Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông  

Bài 3 trang 87 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh HG = GK = KE.

Lời giải:

a) Do E là điểm đối xứng với H qua I nên I là trung điểm của HE.

Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có $\widehat{AHC}=90°$ nên hình bình hành AHCE là hình chữ nhật.

b) Xét DAHC có AM, HI là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của DAHC.

Suy ra $HG=\frac{2}{3}HI$ và $IG=\frac{1}{2}HG$.

Chứng minh tương tự đối với DAEC có K là trọng tâm của  DAEC.

Suy ra $EK=\frac{2}{3}EI$ và $IK=\frac{1}{2}EK$.

Ta có: $HG=\frac{2}{3}HI$, $EK=\frac{2}{3}EI$ và HI = EI nên $HG=EK\left(=\frac{2}{3}EI\right)$.

Lại có: $IG=\frac{1}{2}HG$ và $IK=\frac{1}{2}EK$ nên $IG=IK=\frac{1}{2}HG$

Mặt khác $GK=IG+IK=\frac{1}{2}HG+\frac{1}{2}HG=HG$.

Vậy HG = GK = KE.