Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \dfrac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}},\,\,\,\forall x \ne 0.\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho trên khoảng \(\left( {0;\,\,100\pi } \right)\) là:
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 2\sqrt 3 \) và \(AA' = 2\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(A'B'\), \(A'C'\) và \(BC\). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) bằng:
Trong tất cả các cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1\) , có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{\dfrac{{mx + 1}}{{x + m}}}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Cho hình chóp có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(AB = 3\), \(AC = 2\) và \(\angle BAC = {60^0}\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) trên \(SB,\,\,SC\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp chóp \(ABCNM\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{2x - 1}}\), \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng:
Cho \(a\) và \(b\) là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị \(y = {\log _a}x,\,\,y = {\log _b}x\) và trục hoành lần lượt tại \(A,\,\,B\) và \(H\) phân biệt ta đều có \(3HA = 4HB\) (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2; - 1;3} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là chân đường phân giác trong của góc \(B\) của tam giác \(ABC\). Giá trị của \(a + b + 2c\) bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {2;3;0} \right)\), \(C\left( {0;0;3} \right)\). Tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\) là mặt cầu có bán kính bằng:
