Xét hình 1. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA. Từ đó suy ra hệ thức

Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Video Giải Câu hỏi 1 trang 66 Toán lớp 9 Tập 1

Câu hỏi 1 trang 66 Toán lớp 9 Tập 1: Xét hình 1. Chứng minh $\mathrm{\Delta AHB}\backsim \mathrm{\Delta CHA}$. Từ đó suy ra hệ thức (2).

Lời giải:

Xét $\mathrm{\Delta AHB}$ có $\widehat{\mathrm{AHB}}={90}^{\mathrm{o}}$ (do AH là đường cao của tam giác ABC)

Mà $\widehat{\mathrm{AHB}}+\widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{BAH}}={180}^{\mathrm{o}}$

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABH}}+\widehat{\mathrm{BAH}}={90}^{\mathrm{o}}$ (1)

Xét $\mathrm{\Delta ABC}$ có: $\widehat{\mathrm{BAC}}={90}^{\mathrm{o}}$ (do tam giác ABC vuông tại A)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BAH}}+\widehat{\mathrm{CAH}}={90}^{\mathrm{o}}$(2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{CAH}}$ (cùng phụ $\widehat{\mathrm{BAH}}$)

Xét $\mathrm{\Delta AHB}$ và $\mathrm{\Delta CHA}$

$\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{AHC}}={90}^{\mathrm{o}}$ (do AH là đường cao của tam giác ABC)

$\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{CAH}}$ (chứng minh trên)

Do đó $\mathrm{\Delta AHB}\backsim \mathrm{\Delta CHA}$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{BH}}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}$

$\Rightarrow {\mathrm{AH}}^2=\mathrm{BH}.\mathrm{CH}$

$\Rightarrow {\mathrm{h}}^2=\mathrm{c}\text{'}.\mathrm{b}\text{'}$