Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5)

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4.24 trang 58 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).

a) Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.

b) Tìm toạ độ của điểm Q sao cho $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{PN}.$

c) Tìm toạ độ của điểm R thoả mãn $\overrightarrow{RM}+2\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{0}.$Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.

Lời giải:

a) Gọi P(a; 0) là điểm thuộc tia Ox.

Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:

Do đó PM = PN $\iff \sqrt{{\left(-2-a\right)}^2+1^2}=\sqrt{{\left(4-a\right)}^2+5^2}$

$\Rightarrow$ (–2 – a)² + 1² = (4 – a)² + 5²

$\Rightarrow$ 4 + 4a + a² + 1 = 16 – 8a + a² + 25

$\Rightarrow$ 12a = 36

$\Rightarrow$ a = 3.

Vậy P(3; 0).

b) Giả sử điểm Q có tọa độ là Q(x; y).

Với M(–2; 1), N(4; 5) và P(3; 0) ta có:

Do đó $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{PN}\iff \begin{array}{l}x+2=2\\ y-1=10\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ y=11\end{array}$$\Rightarrow$ Q(0; 11).

Vậy Q(0; 11).

c) Giả sử R(x₀; y₀) là điểm cần tìm.

Với M(–2; 1) và N(4; 5) ta có:

Do đó 

+) Ta xét ba điểm: P(3; 0), Q(0; 11) và $R\left(2;\frac{11}{3}\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{PQ}=\left(-3;11\right)$và $\overrightarrow{QR}=\left(2;\frac{11}{3}-11\right)=\left(2;\frac{-22}{3}\right)$

Có: $\frac{-3}{2}=\frac{11}{\frac{-22}{3}}$nên hai vectơ $\overrightarrow{PQ}$và $\overrightarrow{QR}$cùng phương

Do đó P, Q, R thẳng hàng

Vậy ba điểm P, Q, R thẳng hàng.