Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2)

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 4.26 trang 60 SBT Toán 10 Tập 1:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

a) Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$có độ dài ngắn nhất.

b) Tìm toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho $\left.2\overrightarrow{FC}+3\overrightarrow{FD}\right|$đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho $\left.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=CD.$

Lời giải:

a) Giả sử E(0; y_E) là điểm thuộc trục tung.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

$\overrightarrow{EC}=\left(1;6-y_E\right)$và $\overrightarrow{ED}=\left(11;2-y_E\right)$

Vì (8 – 2y_E)² ≥ 0 ∀ y_E

Nên 12² + (8 – 2y_E)² ≥ 12² ∀ y_E

Hay $\sqrt{{12}^2+{\left(8-2y_E\right)}^2}\ge 12$∀ y_E

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}\right|\ge 12$∀ y_E

Do đó độ dài của vectơ $\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$nhỏ nhất bằng 12

Dấu “=’ xảy ra $\Rightarrow$ 8 – 2y_E = 0

$\Rightarrow$ y_E = 4

Vậy với E(0; 4) thì vectơ $\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$có độ dài ngắn nhất.

b) Giả sử F(a; 0) thuộc trục hoành.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

Vì (35 – 5a)² ≥ 0 ∀a

Nên (35 – 5a)² + 18² ≥ 18² ∀a

Hay $\sqrt{{\left(35-5a\right)}^2+{18}^2}$∀a

$\Rightarrow \left.2\overrightarrow{FC}+3\overrightarrow{FD}\right|\ge 18$∀a

Do đó độ dài của vectơ $2\overrightarrow{FC}+3\overrightarrow{FD}$nhỏ nhất bằng 18

Dấu “=’ xảy ra $\Rightarrow$ 35 – 5a = 0

$\Rightarrow$ a = 7

Vậy với F(7; 0) thì $\left.2\overrightarrow{FC}+3\overrightarrow{FD}\right|$đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Giả sử M(x ; y) là tọa độ điểm thỏa mãn $\left.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=CD.$

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

+) $\overrightarrow{CD}=\left(10;-4\right)$

$\Rightarrow CD=\left.\overrightarrow{CD}\right|=\sqrt{{10}^2+{\left(-4\right)}^2}$$=\sqrt{116}=2\sqrt{29}$

Gọi I là trung điểm của CD, khi đó ta có:

• Tọa độ của I là: $\begin{array}{l}{x}_I=\frac{1+11}{2}=6\\ y_I=\frac{6+2}{2}=4\end{array}$Þ I(6; 4).

• $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MI}$

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=\left.2\overrightarrow{MI}\right|=2.MI$

Ta có

$\left.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|=CD\iff 2MI=CD$

$\iff IM=\frac{CD}{2}=\frac{2\sqrt{29}}{2}=\sqrt{29}.$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(6; 4) và bán kính $R=\sqrt{29}.$