Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O bán kính R = 9 và cho điểm A

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O bán kính R = 9 và cho điểm A khác O. Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và phép vị tự $V_{\left(O;-\frac{1}{3}\right)}$. Tìm diện tích hình tròn (C’).

Lời giải:

Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ và phép vị tự $V_{\left(O;-\frac{1}{3}\right)}$ biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’).

Suy ra phép đồng dạng đó có tỉ số là $k=\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$.

Đường tròn (C’) có tâm O’, bán kính R’.

Suy ra O’ là ảnh của O qua phép đồng dạng tỉ số $\frac{1}{3}$.

Gọi M là điểm bất kì nằm trên đường tròn (C).

Suy ra M’ là ảnh của M qua phép đồng dạng tỉ số $\frac{1}{3}$.

Khi đó ta có $O^{\text{'}}{M}^{\text{'}}=\frac{1}{3}\mathrm{OM}$.

Vì vậy $R^{\text{'}}=\frac{1}{3}.R=\frac{1}{3}.9=3$.

Diện tích hình tròn (C’) là: $S_{\left(C^{\text{'}}\right)}=\pi .{R^{\text{'}}}^2=\pi .3^2=9\pi$.

Vậy diện tích hình tròn (C’) là 9π.