Sách bài tập Toán 12 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Toạ độ của vectơ trong không gian

Giải SBT Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 70 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(2; 3; 5) và vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; 0; −7).

a) Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{OM}$.

b) Tìm tọa độ điểm N thỏa mãn $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{a}$

Lời giải:

a) Ta có: M(2; 3; 5), suy ra $\overrightarrow{OM}$ = (2; 3; 5).

b) Ta có: $\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{a}$ = (2; 0; −7), suy ra N(2; 0; −7).

Bài 2 trang 70 SBT Toán 12 Tập 1: Cho A(4; −3; 1) và vectơ $\overrightarrow{u}$ = (5; 2; −3). Biểu diễn các vectơ sau đây theo các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$

a) $\overrightarrow{OA}$;

b) $4\overrightarrow{u}$.

Lời giải:

a) Ta có A(4; −3; 1), suy ra $\overrightarrow{OA}$ = (4; −3; 1) hay $\overrightarrow{OA}$ = $4\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$.

b) Ta có $\overrightarrow{u}$ = (5; 2; −3), suy ra $4\overrightarrow{u}$ = 4(5; 2; −3) = (20; 8; −12) = $20\overrightarrow{i}+8\overrightarrow{j}-12\overrightarrow{k}$

Bài 3 trang 70 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(9; 3; 6).

a) Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Tìm tọa độ các điểm M₁, M₂, M_­3.

b) Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Oxz). Tìm tọa độ các điểm N, P, Q.

Lời giải:

a) Ta có M(9; 3; 6).

M₁ là hình chiếu của M trên trục Ox, do đó M₁(9; 0; 0).

M₂ là hình chiếu của M trên trục Oy, do đó M₂(0; 3; 0).

M₃ là hình chiếu của M trên trục Oz, do đó M₃(0; 0; 6).

b) N là hình chiếu vuông góc của M trên (Oxy) nên N(9; 3; 0).

P là hình chiếu vuông góc của M trên (Oyz) nên P(0; 3; 6).

Q là hình chiếu vuông góc của M trên (Oxz) nên Q(9; 0; 6).

Bài 4 trang 71 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(5; 7; −4), B(6; 8; −4), C(6; 7; −3), D'(3; 0; 3). Tìm tọa độ các điểm D và A'.

Lời giải:

Gọi D(x; y; z).

Ta có ABCD là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\left(0;-1;0\right)$.

Suy ra, $\begin{array}{l}x-5=0\\ y-7=-1\\ z+4=0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x=5\\ y=6\\ z=-4\end{array}$⇒ D(5; 6; −4).

Gọi A'(a; b; c).

Ta có AA'D'D là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}$ = (−2; −6; 7).

Suy ra $\begin{array}{l}a-5=-2\\ b-7=-6\\ c+4=7\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}a=3\\ b=1\\ c=3\end{array}$ ⇒ A'(3; 1; 3).

Bài 5 trang 71 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm M(5; −7; −2) và vectơ $\overrightarrow{a}$ = (−3; 0; 1)

Hãy biểu diễn mỗi vectơ sau theo hướng các vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

a) $\overrightarrow{OM}$;

b) $\overrightarrow{a}$

Lời giải:

a) Ta có M(5; −7; −2), suy ra $\overrightarrow{OM}$ = (5; −7; −2) hay $\overrightarrow{OM}$ = $5\overrightarrow{i}-7\overrightarrow{j}-2\overrightarrow{k}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{a}$ = (−3; 0; 1) hay $\overrightarrow{a}$= $-3\overrightarrow{i}+\overrightarrow{k}$

Bài 6 trang 71 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A(2; 0; 2), B(4; 2; 4), D(2; −2; 2), C' (8; 10; −10). Tìm tọa độ điểm A'.

Lời giải:

Ta có ABCD là hình bình hành, nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ = (2; 2; 2).

Gọi C(x; y; z) suy ra $\begin{array}{l}x-2=2\\ y+2=2\\ z-2=2\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}x=4\\ y=0\\ z=4\end{array}$ ⇒ C(4; 0; 4).

Ta có: AA'C'C là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ = (4; 10; −14).

Gọi A'(a; b; c) suy ra $\begin{array}{l}a-2=4\\ b-0=10\\ c-2=-14\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}a=6\\ b=10\\ c=-12\end{array}$⇒ A'(6; 10; −12).

Bài 7 trang 71 SBT Toán 12 Tập 1: Trên một sân tennis có kích thước như trong Hình 14a), người ta đã thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là m) như trong Hình 14b). Hay xác định tọa độ của các điểm A, B.

Lời giải:

Quan sát hình vẽ, ta thấy: x_A = $\frac{23,78}{2}=11,89$, y_A = $\frac{10,98}{2}$ = 5,49, z_A = 1,07 – 0,91 = 0,16

Suy ra a(11,89; 5,49; 0,16).

Tọa độ điểm B là B(11,89; 5,49; 1,07).