Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 6.32 trang 21 SBT Toán 10 Tập 2: Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình chữ nhật (xem hình dưới). Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài 66 cm. Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết rằng diện tích của phần nửa hình tròn bằng 0,3 lần diện tích của phần hình chữ nhật. Lấy π = 3,14 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Lời giải:

Gọi đường kính của nửa hình tròn là x (cm) (x > 0).

Độ dài cạnh phía trên của hình chữ nhật bằng đường kính của nửa hình tròn hay AB = x (cm).

Xét tam giác vuông ABD

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BD² = AD² + AB²

⇔ AD² = BD²– AB²

Suy ra 

 $AD=\sqrt{B{D}^2-A{B}^2}=\sqrt{{66}^2-x^2}=\sqrt{4356-x^2}$.

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là AD = $\sqrt{4356-x^2}$

Diện tích nửa hình tròn là $\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{AB}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}.3,14.{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{3,14x^2}{8}$.

Diện tích hình chữ nhật là x$\sqrt{4356-x^2}$. Theo giả thiết ta có:

$\frac{3,14x^2}{8}=0,3x\sqrt{4356-x^2}$

$\Rightarrow 157x=120\sqrt{4356-x^2}$(do x > 0).

Bình phương hai vế của phương trình ta có:

24 649x² = 14 400(4 356 – x²)

⇔ 24 649x² = 62 726 400 – 14 400x²

⇔ 39 049x² = 62 726 400

⇔ x ≈ ± 40,08

Do x > 0 nên ta có: x = 40,08

Độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là 40,08 cm, độ dài cạnh còn lại là: $\sqrt{4356-40,{08}^2}\approx 52,44$(cm)

Vậy kích thước của hình chữ nhật khoảng 40,08 cm × 52,44 cm.