Luyện tập 1 trang 61 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Luyện tập 1 trang 61 Toán 11 Tập 2:Tính đạo hàm của hàm số$f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ tại x₀= 2 bằng định nghĩa

Lời giải:

⦁ Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có: $\Delta y=f\left(2+\Delta x\right)–f\left(2\right)=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}$

$=\frac{2}{2\cdot \left(2+\Delta x\right)}-\frac{2+\Delta x}{2\cdot \left(2+\Delta x\right)}=\frac{-\Delta x}{2\cdot \left(2+\Delta x\right)}$

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{2\left(2+\Delta x\right)}}{\Delta x}=-\frac{1}{2\left(2+\Delta x\right)}$

⦁ Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{2\left(2+\Delta x\right)}=\frac{-1}{2\left(2+0\right)}=\frac{-1}{4}.$

Vậy $f^{\text{'}}\left(2\right)=\frac{-1}{4}.$