Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao

Giải Toán 7 Luyện tập trang 73

Video giải Bài 41 trang 73 Toán lớp 7 Tập 2

Bài 41 trang 73 Toán lớp 7 Tập 2: 

Lời giải:

 Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC; AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến của ΔABC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác:

$GA=\frac{2}{3}AM;GB=\frac{2}{3}BN;GC=\frac{2}{3}CP$.

Vì ΔABC đều nên ba trung tuyến AM = BN = CP (1)

Suy ra: GA = GB = GC (2)

Từ (1) và (2) suy ra GM = GN = GP.

Xét ΔANG và ΔCNG ta có:

GN là cạnh chung

GA = GC (chứng minh trên)

NA = NC (N là trung điểm AC)

Do đó ΔANG = ΔCNG (c.c.c)

Suy ra $\widehat{ANG}=\widehat{CNG}$ (hai góc tương ứng).  (3)

Mà $\widehat{ANG}+\widehat{CNG}=180°$ (hai góc kề bù).   (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{ANG}=\widehat{CNG}=90°$ .

Suy ra GN ⊥ AC tức là GN là khoảng cách từ G đến AC.

Chứng minh tương tự ta suy ra được GM, GP là khoảng cách từ G đến BC, AB.

Mà GM = GN = GP (chứng minh trên)

Vậy G cách đều ba cạnh của tam giác ABC.