Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác

Giải Toán 7 Luyện tập trang 73

Video giải Bài 42 trang 73 Toán lớp 7 Tập 2

Bài 42 trang 73 Toán lớp 7 Tập 2:

Gợi ý: Trong ΔABC, nếu AD vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn DA₁, sao cho DA₁ = AD.

Lời giải:

 Giả sử AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác của tam giác ABC.

Ta cần chứng minh ∆ABC cân tại A.

Kéo dài AD một đoạn DA₁ sao cho DA₁ = AD.

Xét ∆ADB và ∆A₁DC có:

AD = DA₁ 

BD = CD (do D là trung điểm BC)

$\widehat{BDA}=\widehat{CD{A}_1}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆ADB = ∆A₁DC (c.g.c).

Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{C{A}_{1}D}$ (hai góc tương ứng)

Suy ra AB = A₁C (hai cạnh tương ứng)   (1)

Mà $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (do AD là phân giác góc BAC).

Suy ra $\widehat{CAD}=\widehat{C{A}_{1}D}$ (do cùng bằng góc BAD).

Do đó ∆ACA₁ cân tại C suy ra AC = A₁C   (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = AC.

Vậy ∆ABC cân tại A.

Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.