Giải SBT Toán 10 trang 43 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 10 trang 43 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 3.36 trang 43 SBT Toán 10 Tập 1:

Một ca nô xuất phát từ cảng A, chạy theo hướng đông với vận tốc 60 km/h. Cùng lúc đó, một tàu cá, xuất phát từ A, chạy theo hướng N30°E với vận tốc 50 km/h. Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu kilômét?

A. 110 km;

B. 112 km;

C. 111,4 km;

D. 110,5 km.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Giả sử chuyển vị trí của cảng A, ca nô và tàu cá sau 2 giờ chuyển động được mô tả như hình vẽ sau:

Vì ca nô chuyển động theo hướng đông và tàu cá chuyển động theo hướng N30°E nên ta có:

$\widehat{BAC}=90°-30°=60°$

Sau 2 giờ ca nô chạy được quãng đường AB bằng:

2.60 = 120 (km)

Sau 2 giờ tàu cá chạy được quãng đường AC bằng:

2.50 = 100 (km)

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos$\widehat{BAC}$

$\Rightarrow$ BC² = 120² + 100² – 2.120.100.cos60°

$\Rightarrow$ BC² = 12 400

$\Rightarrow$ BC ≈ 111,4 (km).

Ta chọn phương án C.

Bài 3.37 trang 43 SBT Toán 10 Tập 1:

Một người đứng trên đài quan sát đặt ở cuối một đường đua thẳng. Ở độ cao 6 m so với mặt đường đua, tại một thời điểm người đó nhìn hai vận động viên A và B dưới các góc tương ứng là 60° và 30°, so với phương nằm ngang (H.3.6).

Khoảng cách giữa hai vận động viên A và B (làm tròn đến hàng đơn vị, theo đơn vị mét) tại thời điểm đó là

A. 8 m.

B. 7 m.

C. 6 m.

D. 9 m.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi H là chân đài quan sát ở cuối đường đua.

Khi đó ta có:

• MH = 6 (m);

• $\widehat{BMH}=90°-30°=60°;$

• $\widehat{AMH}=90°-60°=30°;$

Tam giác AMH vuông tại H nên ta có:

HA = MH.tan$\widehat{AMH}$= 6.tan30° = $2\sqrt{3}$

Tam giác BMH vuông tại H nên ta có:

HB = MH.tan$\widehat{BMH}$= 6.tan60° $=6\sqrt{3}$

Do đó AB = HB – HA = $6\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$≈ 7 (m).

Ta chọn phương án B.

B. Tự luận

Bài 3.38 trang 43 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho góc tù α có sinα = $\frac{1}{3}$

a) Tính cosα, tanα, cotα.

b) Tính giá trị của các biểu thức:

A = sinα. cot(180° – α) + cos(180° – α).cot(90° – α);

$B=\frac{3\left(\sin \alpha +\sqrt{2}cos\alpha \right)-2}{\sin \alpha -\sqrt{2}cos\alpha }.$

Lời giải:

a) Vì α là góc tù (90° < α < 180°) nên cosα < 0.

Ta có sin²α + cos²α = 1

$\Rightarrow$$\frac{1}{9}$+ cos²α = 1

$\Rightarrow$cos²α = $\frac{8}{9}$

$\Rightarrow$cosα = $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$(do cosα < 0)

Do đó:

• tanα $=\frac{\sin \alpha }{cos\alpha }=\frac{1}{3}:\frac{-2\sqrt{2}}{3}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}.$

• cotα = $\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }=\frac{-2\sqrt{2}}{3}:\frac{1}{3}=-2\sqrt{2}.$

Vậy cosα = $-\frac{2\sqrt{2}}{3};$tanα = $-\frac{1}{2\sqrt{2}}$và cotα = $-2\sqrt{2}.$

b) Ta có:

• cot(180° – α) = –cotα;

• cos(180° – α) = –cosα;

• cot(90° – α) = tanα;

Khi đó:

A = sinα. cot(180° – α) + cos(180° – α).cot(90° – α)

= sinα.(–cotα) + (–cosα).tanα

Vậy $A=\frac{2\sqrt{2}-1}{3}$và B = –3.

Bài 3.39 trang 43 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho sin15° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

a) Tính sin75°, cos105°, tan165°.

b) Tính giá trị của biểu thức:

A = sin75°. cos165° + cos105°. sin165°.

Lời giải:

Vì 0° < 15° < 90° nên cos15° > 0.

Ta có sin²15° + cos²15° = 1

Do đó:

tan15° = $\frac{\sin 15°}{cos15°}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}:\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$

$=\frac{{\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}^2}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}=\frac{8-4\sqrt{3}}{4}=2-\sqrt{3}$

a) Ta có:

• sin75° = sin(90° – 15°) = cos15° = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};$

• cos105° = cos(180° – 75°) = –cos75°

= –cos(90° – 15°) = –sin15°

$\Rightarrow$ cos105° = $-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.$

• tan165° = tan(180° – 15°) = –tan15°

$\Rightarrow$ tan165° = $-2+\sqrt{3}.$

Vậy sin75° = $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};$cos105° = $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$và tan165° = $-2+\sqrt{3}$

b) Ta có:

• sin165° = sin(180° – 15°) = sin15°

$\Rightarrow$ sin165° = $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4};$

• cos165° = cos(180° – 15°) = –cos15°

$\Rightarrow$ cos165° = $-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4};$

Khi đó:

A = sin75°. cos165° + cos105°. sin165°

Vậy A = –1.

Bài 3.40 trang 43 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC}=60°.$Tính độ dài cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác.

Lời giải:

Cách 1:

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos$\widehat{ABC}$

$\Rightarrow$AC² = 1² + 2² – 2.1.2.cos60°

$\Rightarrow$AC² = 3

$\Rightarrow$AC = $\sqrt{3}$

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{2}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 60°}=2$

$\Rightarrow \sin \widehat{ACB}=\frac{1}{2}$và $\sin \widehat{BAC}=1$

$\Rightarrow \widehat{ACB}=30°$và $\widehat{BAC}=90°.$

Vậy $AC=\sqrt{3};\widehat{ACB}=30°$và $\widehat{BAC}=90°.$

Cách 2:

Tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 nên $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$

Mà $\widehat{ABC}=60°.$

Do đó tam giác ABC vuông tại A $\left(\widehat{BAC}=90°\right).$

Suy ra $\Rightarrow \widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}=30°$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

AC² = BC² – AB² = 2² – 1² = 3

$\Rightarrow$AC = $\sqrt{3}$

Vậy $AC=\sqrt{3};\widehat{ACB}=30°$và $\widehat{BAC}=90°.$