Chuyên đề Đạo hàm của hàm số lượng giác (2022) - Toán 11

Chuyên đề Đạo hàm của hàm số lượng giác - Toán 11

A. LÝ THUYẾT

1. Giới hạn $\frac{\mathbf{s}\mathbf{\text{inx}}}{\mathbf{x}}$

Định lý 1.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{s}\text{inx}}{x}=1.$

Ví dụ 1. Tính $\underset{\mathrm{x}\to 1}{\lim }\frac{\sin \left(\mathrm{x}-1\right)}{{\mathrm{x}}^2-1}$

Lời giải

Đặt x – 1 = t.

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0.

$\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}+2\right)}=\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\left(\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\frac{1}{\mathrm{t}+2}\right)=\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sint}}{\mathrm{t}}.\underset{\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{t}+2}=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$

2. Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2.

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (sinx)’ = cosx.

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}={\left.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^2$

Lời giải

$\mathrm{y}\text{'}=2{\left.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\right]}^{\text{'}}.\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)=2\left.\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\text{'}}\right].\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)\mathrm{y}\text{'}=4\cos \left(2\mathrm{x}+3\right).\sin \left(2\mathrm{x}+3\right)$

3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3.

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\in \mathrm{ℝ}$ và (cosx)’ = - sinx.

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}=\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)$ tại $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

Lời giải

Đặt $\mathrm{u}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}$

$\Rightarrow \mathrm{y}\text{'}=\left(\mathrm{cosu}\right)\text{'}=-\mathrm{u}\text{'}.\mathrm{sinu}=-{\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)}^{\text{'}}\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\mathrm{x}\right).$

Thay $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ vào y’ ta được:

$\mathrm{y}\text{'}\left(\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)=\frac{1}{2}.$

Vậy giá trị của đạo hàm của hàm số tại $\text{x=}\frac{\mathrm{\pi }}{3}$ là $\frac{1}{2}$

4. Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4.

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (tanx)’ = $\frac{1}{{\text{cos}}^2\mathrm{x}}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = $\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\text{cos}}^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 4. Tính đạo hàm $\mathrm{y}=\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}$

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

$\mathrm{y}\text{'}=\frac{\mathrm{u}\text{'}}{2\sqrt{\mathrm{u}}}=\frac{\left(2+\mathrm{tanx}\right)\text{'}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}}=\frac{\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}}}{2\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}}=\frac{1}{2.{\cos }^2\mathrm{x}\sqrt{2+\mathrm{t}\text{anx}}}$

5. Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5.

Hàm số y = cotx có đạo hàm tại mọi $\mathrm{x}\ne \mathrm{k\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ và (cotx)’ = $-\frac{1}{{\text{sin}}^{2}x}$.

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (cotu)’ = $-\frac{\mathrm{u}\text{'}}{{\sin }^2\mathrm{u}}.$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm y = cot x².

Lời giải

y’ = (cot x²)’ = (x²)’.$\frac{-1}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$=$-\frac{2\mathrm{x}}{{\left(\mathrm{s}{\text{inx}}^2\right)}^2}$.

6. Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

B. BÀI TẬP

I.Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Hàm số y = (1 + sinx)(1 + cosx) có đạo hàm là:

A. y' = cosx - sinx + 1.

B. y' = cosx + sinx + cos2x.

C. y' = cosx - sinx + cos2x.

D. y' = cosx + sinx + 1.

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = sin√x + cos√x. Giá trị  bằng:

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 3: Cho hàm số . Giá trị  bằng:

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 4: Cho hàm số . Giá trị  bằng:

A.1

B. 1/2.

C. 0

D. Không tồn tại.

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 5: Cho hàm số . Tính  bằng:

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 6: Cho hàm số . Biểu thức  bằng

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 7: Hàm số  có đạo hàm bằng

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 8: Cho hàm số . Khi đó nghiệm của phương trình là:

A. π + k2π.

B. 2π + k4π.

C. 2π + kπ.

D. π + kπ.

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 9: Hàm số  có đạo hàm là:

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 10: Tính đạo hàm của hàm số sau: y = 2sin24x - 3cos35x.

Lời giải:

Chọn đáp án D

II.Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số sau: y = (2 + sin22x)³.

Lời giải:

Bài 2: Đạo hàm của hàm số  là

Lời giải:n

Bài 3: Đạo hàm của hàm số  là

Lời giải:

Bài 4: Hàm số  có đạo hàm bằng:

Lời giải:

Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số sau:  .

Lời giải:

Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin(cos2x.tan2x).

Lời giải:

Bài 7: Tính đạo hàm của hàm số sau: 

Lời giải:

Bài 8: Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin2(cos(tan⁴3x))

Lời giải:

Bài 9:

Lời giải:

Bài 10: Đạo hàm của hàm số

bằng biểu thức nào?

Lời giải:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Đạo hàm của hàm số

bằng biểu thức nào sau đây?

Bài 2 Tính đạo hàm của hàm số y = x.cosx.

Bài 3 Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin³(2x + 1) .

Bài 4 Tính đạo hàm của hàm số sau: .

Bài 5 Tính đạo hàm của hàm số sau: .

Bài 6 Hàm số  có f'(3) bằng?

Bài 7 Cho hàm số y = cos3x.sin2x. Tính  

Bài 8 Cho hàm số . Tính 

Bài 9 Cho hàm số . Giá trị bằng?

Bài 10 Cho hàm số . Tính f'(x)