Chuyên đề Đạo hàm cấp hai (2022) - Toán 11

Chuyên đề Đạo hàm cấp hai - Toán 11

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x ∈ (a;b). Khi đó, hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a; b). Nếu hàm số y’ = f’(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và kí hiệu là y” hoặc f”(x).

Chú ý:

+ Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) được định nghĩa tương tự và kí hiệu là y”’ hoặc f”’(x) hoặc f⁽³⁾(x).

+ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp n – 1 , kí hiệu f^(n–1)(x) (n ∈ N, n ≥ 4). Nếu f^(n–1)(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), kí hiệu y⁽ⁿ⁾ hoặc f⁽ⁿ⁾(x).

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n–1)(x))’.

Ví dụ 1. Với y = 7x⁴ + 8x + 12. Tính y⁽⁵⁾

Lời giải

Ta có: y’ = 28x³ + 8, y” = 84x², y”’ = 168x, y⁽⁴⁾ = 168, y⁽⁵⁾ = 0.

Vậy y⁽⁵⁾ = 0.

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động xác định bởi phương trình s = f(t), trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai. Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f’(t).

Lấy số gia $\mathrm{\Delta t}$ tại t thì v(t) có số gia tương ứng là $\mathrm{\Delta v}$

Tỉ số $\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}$ được gọi là gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian $\mathrm{\Delta t}$. Nếu tồn tại: $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{\Delta t}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta v}}{\mathrm{\Delta t}}=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$.

Ta gọi $\mathrm{v}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)$ là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.

Vì v(t) = f’(t) nên: $\boxed{\mathrm{\gamma }\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{f}"\left(\mathrm{t}\right)}$.

Đạo hàm cấp hai f”(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t.

Ví dụ 2. Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do $\mathrm{s}=\frac{1}{2}{\mathrm{gt}}^2.$

Lời giải

Ta có: $\mathrm{s}\text{'}=\mathrm{gt}.$

Gia tốc tức thời của sự tơi tự do là: $\mathrm{\gamma }=\mathrm{s}"\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{s}\text{'}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{g}\approx 9,8\left(\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2\right)$.

Vậy gia tốc tức thời của sự rơi tự do là: $\mathrm{g}\approx 9,8\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$

B. Bài tập

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Hàm số y = (2x + 5)⁵ có đạo hàm cấp 3 bằng :

A. y‴ = 80(2x + 5⁾³.

B. y‴ = 480(2x + 5)².

C. y‴ = -480(2x + 5)².

D. y‴ = -80(2x + 5)³.

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 2: Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng :

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 3: Hàm số  có đạo hàm cấp 2 bằng :

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 4: Cho hàm số f(x) = (x + 1)³. Giá trị f''(0) bằng

A. 6

B. 3

C. 12

D. 24

Lời giải:

Chọn đáp án A

Bài 5: Cho hàm số f(x) = sin3x + x². Giá trị f''(π/2) bằng

A. 0

B. – 1

C. –2

D. 5

Lời giải:

Chọn đáp án B

Bài 6: Cho hàm số f(x) = 5(x + 1)³ + 4(x + 1). Tập nghiệm của phương trình f''(x) = 0 là

A. [-1; 2].

B. (-∞].

C. {-1}.

D. ∅.

Lời giải:

Chọn đáp án C

Bài 7: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t³ - 3t² - 9t + 2 ( t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi t =0 hoặc t = 2 .

B. Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là v = 18 m/s.

C. Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t= 3 là a = 12 m/s2.

D. Gia tốc của chuyển động bằng 0 khi t = 0.

Lời giải:

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t

Chọn đáp án C

Bài 8: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ - 3t² (t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 18 m/s².

B. Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là a = 9 m/s².

C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 12 m/s.

D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là v = 24 m/s.

Lời giải:

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.

Chọn đáp án A

Bài 9: Hàm số  có đạo hàm cấp hai là:

Lời giải:

Chọn đáp án D

Bài 10: Hàm số y = (x² + 1)³ có đạo hàm cấp ba là:

A. y''' = 12(x² + 1).

B. y''' = 24(x² + 1).

C. y''' = 24(5x² + 3).

D. y''' = -12(x² + 1).

Lời giải:

Chọn đáp án C

II. Bài tập tự luận có lời giải

Bài 1: Hàm số

  có đạo hàm cấp hai bằng?

Lời giải:

Bài 2: Cho hàm số . Khi đó  y''' =?

Lời giải:

Bài 3: Cho hàm số y = sin2x. Tính 

Lời giải:

Bài 4: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 - 3t2 + 5t + 2, trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là?

Lời giải:

Ta có gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t bằng đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động tại thời điểm t.

Bài 15: Hàm số  có đạo hàm cấp 2 bằng?

Lời giải:

Bài 6:

Lời giải:

Bài 7 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

Lời giải:

Bài 8 a) Cho $f(x)=(x+10{)}^6$.Tính $f"(2)$.

b) Cho $f(x)=\sin 3x$.Tính $f"(-\frac{\pi }{2})$ , $f"(0)$, $f"\left(\frac{\pi }{18}\right)$.

Bài 9 Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y=\frac{1}{1-x}$

b) $y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$

c) $y=\tan x$

d) $y={\cos }^{2}x$ 

Bài 10 Tìm các đạo hàm sau:

III. Bài tập vận dụng

Bài 1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

Bài 2

Bài 3 Hàm số y = (2x + 5)⁵ có đạo hàm cấp 3 bằng?

Bài 4 Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng?

Bài 5 Hàm số  có đạo hàm cấp 2 bằng?

Bài 6 Cho hàm số f(x) = (x + 1)³. Giá trị f''(0) bằng?

Bài 7 Cho hàm số f(x) = sin³x + x². Giá trị f''(π/2) bằng?

Bài 8 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t³ - 3t² - 9t + 2 ( t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng ?

Bài 9 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t³ - 3t² (t tính bằng giây; S tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?

Bài 10 Cho hàm số y = sin2x. Tính