Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A

Giải Toán 9 Luyện tập trang 89, 90

Video Giải Bài 58 trang 90 Toán lớp 9 Tập 2

Bài 58 trang 90 SGK Toán lớp 9 Tập 2: Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC, $\widehat{DCB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Lời giải:

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

AD chung

BD = CD (gt)

AB = AC (do tam giác ABC đều)

Do đó,  tam giác ABD bằng tam giác ACD (cạnh – cạnh – cạnh)

Do đó, tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp

b)

Ta có tam giác ACD vuông tại C (do $\widehat{ACD}={90}^o$)

Gọi O là trung điểm của AD

Do đó, OC là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD của tam giác vuông ACD

$\Rightarrow OC=OA=OD=\frac{1}{2}AD$

Do đó, A, C, D cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính AD (1)

Xét tam giác ABD vuông tại B (do $\widehat{ABD}={90}^o$)

OB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD của tam giác vuông ABD

$\Rightarrow OB=OA=OD=\frac{1}{2}AD$

Do đó, A, B, D cùng thuộc đường tròn tâm O đường kính AD (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm O đường kính AD.