Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến

Giải Toán 9 Luyện tập trang 126

Video Giải Bài 37 trang 126 Toán lớp 9 Tập 2

Bài 37 trang 126 SGK Toán lớp 9 Tập 2:

a) Chứng minh rằng MON và APB là hai tam giác vuông đồng dạng.

b) Chứng minh $AM.BN=R^2$.

c) Tính tỉ số $\frac{S_{MON}}{S_{APB}}$ khi $AM=\frac{R}{2}$.

d) Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra.

Lời giải:

a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP, BOP (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà AOP kề bù với BOP nên suy ra OM vuông góc với ON.

Vậy tam giác MON vuông tại O.

Góc APB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{APB}={90}^o$

Do AM là tiếp tuyến với (O) tại A nên $\widehat{MAO}={90}^o$

Do MN là tiếp tuyến với (O) tại P nên $\widehat{MPO}={90}^o$

Tứ giác AOPM có:

$\widehat{MAO}+\widehat{MPO}={90}^o+{90}^o={180}^o$

Do đó, tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn

$\Rightarrow \widehat{POM}=\widehat{PAO}$ (do là hai góc nội tiếp chắn cung OP)

Xét tam giác MON và tam giác APB  có:

$\widehat{MON}=\widehat{APB}={90}^o$ (chứng minh trên)

$\widehat{POM}=\widehat{PAO}$ (chứng minh trên)

Do đó, tam giác MON đồng dạng với tam giác APB (góc – góc)

b) Tam giác MON vuông tại O có đường cao OP

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có: $O{P}^2=MP.NP$ (1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến MN và AM cắt nhau ta có:

MA = MP (2)

Theo tính chất hai tiếp tuyến MN và BN cắt nhau ta có:

NP = NB (3)

Theo (1), (2) và (3) ta có: $O{P}^2=MA.NB\Rightarrow R^2=MA.NB$ (đcpcm)

c) Theo phần a, tam giác MON và tam giác APB đồng dạng với nhau

Nên:

$M{N}^2={\left(\frac{5}{2}R\right)}^2=\frac{25R^2}{4}$  và AB = 2R

Thay vào (*) ta có: $\frac{S_{MON}}{S_{APB}}=\frac{M{N}^2}{A{B}^2}=\frac{\frac{25R^2}{4}}{{\left(2R\right)}^2}=\frac{25}{16}$

d) Nửa hình tròn APB quay quanh AB tạo ta hình cầu có bán kính R nên thể tích khối cầu tạo ra là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.