Cho hypebol x^2/1 - y^2/3 = 1 với hai tiêu điểm F1(–2; 0), F2(2; 0)

Giải Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6: Hypebol

Luyện tập 3 trang 50 Chuyên đề Toán 10:

Cho hypebol $\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{3}=1$với hai tiêu điểm F₁(–2; 0), F₂(2; 0). Điểm M nào thuộc hypebol mà có độ dài bán kính tiêu MF₂ nhỏ nhất? Tính khoảng cách từ điểm đó tới các tiêu điểm.

Lời giải:

Có a² = 1, b² = 3 $\Rightarrow a=1,b=\sqrt{3}$$\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=2.$

Gọi (x; y) là toạ độ của M.

Theo công thức bán kính qua tiêu ta có: MF₂ $=\left.a-\frac{c}{a}x\right|$$=\left.1-\frac{2}{1}.x\right|=\left.1-2x\right|.$

Nếu M thuộc nhánh bên trái thì x ≤ –a = –1. Khi đó 1 – 2x ≥ 1 – 2(–1) = 3.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 3.

Nếu M thuộc nhánh bên phải thì x ≥ a = 1. Khi đó 1 – 2x ≤ 1 – 2.1 = –1.

Suy ra MF₂ = |1 – 2x| ≥ 1.

Vậy MF₂ nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1.

Khi đó MF₁ $=\left.a+\frac{c}{a}x\right|=\left.1+\frac{2}{1}.1\right|=3.$