Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Chứng minh rằng

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 4.7 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$và $\overrightarrow{b}$không cùng phương. Chứng minh rằng:

$\left.\overrightarrow{a}\right|-\left.\overrightarrow{b}\right|<\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|<\left.\overrightarrow{a}\right|+\left.\overrightarrow{b}\right|$

Lời giải:

Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$

Khi đó ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$(quy tắc ba điểm)

Do đó:

Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay $\left.\overrightarrow{a}\right|-\left.\overrightarrow{b}\right|<\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|<\left.\overrightarrow{a}\right|+\left.\overrightarrow{b}\right|$

Vậy $\left.\overrightarrow{a}\right|-\left.\overrightarrow{b}\right|<\left.\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|<\left.\overrightarrow{a}\right|+\left.\overrightarrow{b}\right|.$