Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn AB’

Giải Chuyên đề Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 5: Phép quay

Bài 5 trang 29 Chuyên đề Toán 11: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm trên đoạn AB’ và nằm ngoài đoạn A’B. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của ∆OAA’ và ∆OBB’. Chứng minh rằng ∆OGG’ là tam giác vuông cân.

Lời giải:

Do DOAB là tam giác vuông cân nên OA = OB và $\widehat{\mathrm{AOB}}=90°$.

Do DOA’B’ là tam giác vuông cân nên OA’ = OB’ và $\widehat{A^{\text{'}}{\mathrm{OB}}^{\text{'}}}=90°$.

Phép quay tâm O, góc quay 90° biến:

⦁ Điểm O thành điểm O;

⦁ Điểm A thành điểm B;

⦁ Điểm A’ thành điểm B’.

Do đó ảnh của ∆OAA’ qua phép quay tâm O, góc quay 90° là ∆OBB’.

Mà G, G’ lần lượt là trọng tâm của ∆OAA’ và ∆OBB’.

Vì vậy ảnh của G qua phép quay tâm O, góc quay 90° là G’.

Suy ra OG = OG’ và $\widehat{{\mathrm{GOG}}^{\text{'}}}=\left(\mathrm{OG},{\mathrm{OG}}^{\text{'}}\right)=90°$.

DOGG’ có OG = OG’ và $\widehat{{\mathrm{GOG}}^{\text{'}}}=90°$ nên là tam giác vuông cân tại O.

Vậy ∆OGG’ vuông cân tại O.