Xét dấu các tam thức bậc hai sau: a) f(x) = –x^2 + 6x + 7

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 6.21 trang 18 SBT Toán 10 Tập 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = –x² + 6x + 7;

b) g(x) = 3x² – 2x + 2;

c) h(x) = –16x² + 24x – 9;

d) k(x) = 2x² – 6x + 1.

Lời giải:

a)

f(x) = –x² + 6x + 7có a = –1 < 0

f(x) = 0 ⇔ –x² + 6x + 7= 0

Xét phương trình bậc hai –x² + 6x + 7= 0 có ∆ = b² – 4ac = 6² – 4.(–1).7 = 64 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\begin{array}{l}{x}_1=7\\ x_2=-1\end{array}$

Vậy f(x) = –x² + 6x + 7 < 0 với x ∈ (–∞; –1) ∪ (7; +∞), f(x) = –x² + 6x + 7 > 0 với x ∈ (–1; 7).

b)

g(x) = 3x² – 2x + 2có a = 3 > 0

g(x) = 0 ⇔ 3x² – 2x + 2 = 0

Xét phương trình bậc hai 3x² – 2x + 2 = 0 có ∆ = b² – 4ac = (–2)² – 4.3.2 = –20 < 0.

Vậy g(x) = 3x² – 2x + 2 > 0 với x ∈ ℝ.

c)

h(x) = –16x² + 24x – 9 có a = –16 < 0

h(x) = 0 ⇔ –16x² + 24x – 9 = 0

Xét phương trình bậc hai –16x² + 24x – 9 = 0 có ∆ = b² – 4ac = 24² – 4.(–16).(–9) = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép: $x=\frac{3}{4}$.

Vậy h(x) < 0 với $x\in ℝ\backslash \left.\frac{3}{4}\right\}$và h(x) = 0 tại $x=\frac{3}{4}$.

d)

k(x) = 2x² – 6x + 1có a = 2 > 0

k(x) = 0 ⇔ 2x² – 6x + 1 = 0

Xét phương trình bậc hai 2x² – 6x + 1 = 0có ∆ = b² – 4ac = (–6)² – 4.2.1 = 28 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt: $\begin{array}{l}{x}_1=\frac{3+\sqrt{7}}{2}\\ x_2=\frac{3-\sqrt{7}}{2}\end{array}$

Vậy k(x) < 0 với x ∈ $\left(\frac{3-\sqrt{7}}{2};\frac{3+\sqrt{7}}{2}\right)$và k(x) > 0 với x ∈$\left(-\infty ;\frac{3-\sqrt{7}}{2}\right)\cup \left(\frac{3+\sqrt{7}}{2};+\infty \right)$.