Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều

Giải Toán 9 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Video Giải Bài 64 trang 92 Toán lớp 9 Tập 2

Bài 64 trang 92 SGK Toán lớp 9 Tập 2:

Trên đường tròn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm A, ba cung AB, BC, CD sao cho sđ$\stackrel{⏜}{AB}={60}^o$, sđ$\stackrel{⏜}{BC}={90}^o$ và sđ$\stackrel{⏜}{CD}={120}^o$.

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.

Lời giải:

a)

Xét đường tròn (O) có:

$\widehat{BAD}$ là góc nội tiếp chắn cung BCD nên ta có:

$\widehat{ADC}$ là góc nội tiếp chắn cung ABC nên ta có:

Mà: $\widehat{BAD}$ và $\widehat{ADC}$ là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD và hai đường thẳng AB, CD

Do đó, AB // CD

Do đó, tứ giác ABCD là hình thang

Mà hình thang ABCD nội tiếp đường tròn

Do đó, ABCD là hình thang cân.

b)

Giả sử hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I

Góc CID là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn hai cung AB và CD nên ta có:

c)

Có: sđ $\stackrel{⏜}{AB}={60}^o$

Mà góc AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB $\Rightarrow \widehat{AOB}={60}^o$

Do đó tam giác AOB đều nên AB = OB = OA = R

Có: sđ $\stackrel{⏜}{BC}={90}^o$

Mà góc BOC là góc ở tâm chắn cung nhỏ BC $\Rightarrow \widehat{BOC}={90}^o$

Xét tam giác BOC có:

Tứ giác ABCD là hình thang cân (chứng minh phần b) $\Rightarrow \widehat{BCD}=\widehat{ADC}={75}^o$

Xét tam giác BOC vuông tại O

Có: OB = OC (= R)

Do đó, tam giác BOC vuông cân tại O

Xét tam giác OCH vuông tại H (do OH vuông góc với CD tại H)

Có: $HC=OC.\cos \widehat{OCH}=$$R.cos{30}^o=\frac{\sqrt{3}}{2}R$

Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).

$\Rightarrow CD=2CH=R.\sqrt{3}$