Sách bài tập Toán 12 Bài 7 (Kết nối tri thức): Hệ trục toạ độ trong không gian

Giải SBT Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian - Kết nối tri thức

Bài 2.16 trang 48 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có thể lập hệ tọa độ Oxyz thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây hay không? Giải thích vì sao.

a) Gốc O trùng với đỉnh A, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt phẳng (A'B'C'D').

b) Mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (Oyz) trùng với mặt phẳng (ABC'D').

c) Mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt phẳng (ABCD), trục Oz trùng với đường thẳng CC'.

Lời giải:

a) Không, do điểm A không nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D').

b) Không, do hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC'D') không vuông góc với nhau mà mặt phẳng (Oxy) và (Oyz) vuông với nhau.

c) Có thể chọn hệ trục Oxyz với gốc O trùng với đỉnh C, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia CB, CD, CC'.

Bài 2.17 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của điểm A trong mỗi trường hợp sau:

a) A nằm trên tia Oy và OA = 3;

b) A nằm trên tia đối của tia Oz và OA = 5;

c) A nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (Oxy), khoảng cách từ A đến Ox và Oy lần lượt là 5 và 8.

Lời giải:

a) Tọa độ điểm A thỏa mãn là: A(0; 3; 0).

b) Tọa độ điểm A thỏa mãn là: A(0; 0; −5).

c) Tọa độ điểm A thỏa mãn là: A(5; 8; 0).

Bài 2.18 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$;

b) $\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{k}$;

c) $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}.$

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{0}$ = (0; 0; 0) nên $\overrightarrow{AB}$ = (0; 0; 0).

b) Ta có: $-2\overrightarrow{k}$ = −2(0; 0; 1) = (0; 0; −2) nên $\overrightarrow{AB}$ = (0; 0; −2).

c) Ta có: $3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$ = (3; −5; 1) nên $\overrightarrow{AB}$ = (3; −5; 1).

Bài 2.19 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(4; 5; −1), B(2; 5; −1), C(0; 0; 3).

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, từ đó suy ra đường thẳng AB song song với trục Ox.

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{OC}$ qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$, từ đó suy ra điểm C thuộc tia Oz.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{AB}$ = (2 – 4; 5 – 5; −1 – (−1)) = (−2; 0; 0) = −2$\overrightarrow{i}$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{i}$ là hai vectơ cùng phương.

Do đó đường thẳng AB (là giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$) song song với trục Ox (là giá của vectơ $\overrightarrow{i}$).

b) Ta có: $\overrightarrow{OC}$ = $0\overrightarrow{i}+0\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$= $3\overrightarrow{k}$.

Suy ra vectơ $\overrightarrow{OC}$ và vectơ $\overrightarrow{k}$ cùng hướng.

Do đó điểm C thuộc tia Oz.

Bài 2.20 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác OAB.O'A'B' có A(1; 1; 7), B(2; 4; 7) và điểm O' thuộc tia Ox sao cho OO' = 3.

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$.

b) Tìm tọa độ của các điểm O'; A' và B'.

Lời giải:

a) Có điểm O' thuộc tia Ox và OO' = 3 hay ta có: $\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}=3\overrightarrow{i}$ = (3; 0; 0).

Vậy $\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$ = (3; 0; 0).

b) Từ a, ta có O'(3; 0; 0).

Gọi tọa độ điểm A'(x₁; y₁; z₁), B'(x₂; y₂; z₂)

Có OAB.O'A'B' là lăng trụ tam giác nên $\overrightarrow{O{O}^{\text{'}}}$ = $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ = $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$

Do đó, ta có: $\begin{array}{l}{x}_1-1=3\\ y_1-1=0\\ z_1-7=0\end{array}$⇔ $\begin{array}{l}{x}_1=4\\ y_1=1\\ z_1=7\end{array}$ ⇒ A'(4; 1; 7).

$\begin{array}{l}{x}_2-2=3\\ y_2-4=0\\ z_2-7=0\end{array}$⇔ $\begin{array}{l}{x}_2=5\\ y_2=4\\ z_2=7\end{array}$ ⇒ B'(5; 4; 7).

Bài 2.21 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hình tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 5 và độ dài cạnh đáy bằng 4. Hãy xác định tọa độ các điểm S, A, B, C, D đối với hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, tia Ox chứa B, tia Oy chứa C và tia Oz chứa S.

Lời giải:

Theo đề, ta có chiều cao SO = 5 và O trùng với gốc tọa độ nên S(0; 0; 5).

Có OA = OB = OC = OD = $2\sqrt{2}$.

Tia Ox chứa B nên tọa độ của B là B($2\sqrt{2}$; 0; 0).

Tia Oy chứa C nên tọa độ của C là C(0; $2\sqrt{2}$; 0).

Vì O là trung điểm AC nên $\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}$ nên tọa độ điểm A(0; −$2\sqrt{2}$; 0).

Tương tự ta có tọa độ điểm D(−$2\sqrt{2}$; 0; 0).

Bài 2.22 trang 49 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh D, B, A' có tọa độ lần lượt là (3; 0; 0), (0; −1; 0), (0; 0; −2). Xác định tọa độ của các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật.

Lời giải:

Ta có: A(0; 0; 0), D(3; 0; 0), B(0; −1; 0), A'(0; 0; −2).

Ta có D(3; 0; 0), B(0; −1; 0) nên C(3; −1; 0).

Mà $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}=\overrightarrow{D{D}^{\text{'}}}$ = (0; 0; −2).

Gọi C'(x; y; z), ta được:

$\begin{array}{l}x-3=0\\ y+1=0\\ z-0=-2\end{array}$⇔ $\begin{array}{l}x=3\\ y=-1\\ z=-2\end{array}$ ⇒ C'(3; −1; −2).

Tương tự với điểm B'(x₁; y₁; z₁) ta tính được:

$\begin{array}{l}{x}_1-0=0\\ y_1+1=0\\ z_1-0=-2\end{array}$ ⇔ $\begin{array}{l}{x}_1=0\\ 1_{}=-1\\ z_1=-2\end{array}$⇒ B'(0; −1; −2).

Tương tự với điểm D'(x₂; y₂; z₂) ta tính được:

$\begin{array}{l}{x}_2-3=0\\ y_2-0=0\\ z_2-0=-2\end{array}$⇔$\begin{array}{l}{x}_2=3\\ y_2=0\\ z_2=-2\end{array}$⇒ D'(3; 0; −2).

Bài 2.23 trang 50 SBT Toán 12 Tập 1: Ở mỗi góc sân bóng đá thường được cắm một cột cờ vuông góc với mặt sân như hình bên.

a) Có thể thiết lập một hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O là chân cột cờ, hai trục Ox, Oy lần lượt trùng với hai vạch kẻ sơn và tia Oz trùng với cột cờ hay không? Giải thích vì sao.

b) Giả sử cột cờ có chiều cao 1,5 m. Hãy xác định tọa độ của điểm bắt đầu cột cờ đối với hệ tọa độ ở câu a (đơn vị đo trong không gian lấy theo mét).

Lời giải:

a) Vì cột cờ vuông góc với với mặt sân nên cột cờ vuông góc với hai vạch kẻ sơn.

Hơn nữa hai vạch kẻ sơn cũng vuông góc với nhau. Vì vậy có thể thiết lập một hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O là chân cột cờ, hai trục Ox, Oy lần lượt trùng với hai vạch kẻ sơn và tia Oz trùng với cột cờ.

b) Do cột cờ có chiều cao 1,5 m nên tọa độ điểm bắt đầu cờ đối với hệ tọa độ ở câu a là (0; 0; 1,5).

Bài 2.24 trang 50 SBT Toán 12 Tập 1: Trong không gian xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo được lấy theo kilômét. Tại giàn khoan người ta đặt một chiếc radar để theo dõi hành trình của một chiếc tàu ngầm hoạt động trong khu vực gần giàn khoan.

a) Hãy giải thích vì sao tọa độ của tàu ngầm luôn có dạng (x; y; z) với z ≤ 0.

b) Khi nào thì tọa độ của chiếc tàu ngầm là (x; y; 0)?

Lời giải:

a) Tàu ngầm luôn nằm dưới mặt nước biển hoặc nằm ngang mực nước biển, vì vậy cao độ của tàu ngầm không lớn hơn 0. Do đó tọa độ của tàu ngầm luôn có dạng (x; y; z) với z ≤ 0.

b) Tạo độ của chiếc tàu ngầm là (x; y; 0) khi tàu ngầm nổi lên trên mặt biển.