Sách bài tập Toán 12 Bài 4 (Cánh diều): Ứng dụng hình học của tích phân

Giải SBT Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân - Cánh diều

Bài 45 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x³, y = x² và hai đường thẳng x = 1, x = 3 là:

A. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^3-x^2)dx$

B. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^2-x^3)dx$

C. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{2}dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{3}dx$

D. $\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}{x}^{3}dx$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình phẳng đã cho là: $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}|x^3-x^2|dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^3-x^2)dx$

Bài 46 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) có đồ thị hàm số lần lượt là (P), (C) và hình phẳng được tô màu như Hình 11. Công thức tính diện tích hình phẳng được tô màu là:

A. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

B. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

C. $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

D. $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị, ta có, công thức tính diện tích hình phẳng được tô màu là:

$S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$ = $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left.g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left.f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}-\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[g\right(x)-f(x\left)\right]dx.$

Bài 47 trang 26 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2 quay quanh trục Ox được khối tròn xoay có thể tích tính theo công thức:

A. $\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx$

B. $\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx$

C. $\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx$

D. $\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Thể tích khối tròn xoay đã cho là: $V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx$

Bài 48 trang 27 SBT Toán 12 Tập 2: Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hình phẳng được tô màu như Hình 12. Diện tích hình phẳng được kí hiệu là S

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 5.	Đ	S
b) S = $\underset{-1}{\overset{5}{\int }}\left|f\right(x\left)\right|dx.$	Đ	S
c) S = $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$	Đ	S
d) S = $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$	Đ	S

Lời giải:

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ

Quan sát đồ thị, ta có hình phẳng được tô màu như Hình 12 được giới hạn đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 5.

Diện tích hình phẳng đó là:

$S=\underset{-1}{\overset{5}{\int }}\left|f\right(x\left)\right|dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left.f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{5}{\int }}\left.f\left(x\right)\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{5}{\int }}\left.-f\left(x\right)\right]dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Bài 49 trang 27 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng được tô màu như Hình 13.

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?

b) Tính diện tích hình phẳng đó.

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị ta thấy, hình phẳng được tô màu như Hình 13 được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, y = −2x + 1 và hai đường thẳng x = −1, x = 0.

b) Diện tích hình phẳng đó là:

$S=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left.{\left(\frac{1}{3}\right)}^x-(-2x+1)\right|dx=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left.-2x+1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^x\right]dx$

= ${\left.\left.-x^2+x+\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^x}{\ln 3}\right]\right|}_{-1}^0$ = $\frac{1}{\ln 3}-\left(-2+\frac{3}{\ln 3}\right)=2-\frac{2}{\ln 3}.$

Bài 50 trang 27 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng được tô màu như Hình 14.

a) Hình phẳng đó được giới hạn bởi các đường nào?

b) Tính diện tích hình phẳng đó.

Lời giải:

a) Quan sát đồ thị ta thấy, hình phẳng được tô màu trong Hình 14 được hạn bởi đồ thị các hàm số y = −x² + 3, y = x² – 2x – 1 và hai đường thẳng x = −1, x = 2.

b) Diện tích hình phẳng đó là:

$S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left.(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right|dx$

$=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left.(-x^2+3)-(x^2-2x-1)\right]dx$

$=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}(-2x^2+2x+4)dx$

$={\left.\left(\frac{-2}{3}{x}^3+x^2+4x\right)\right|}_{-1}^2$

= 9.

Vậy diện tích hình phẳng đó bằng 9.

Bài 51 trang 27 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos$\frac{x}{2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = $\frac{\pi }{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay đã cho là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^2\frac{x}{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{1+\cos x}{2}dx={\left.\frac{\pi (x+\sin x)}{2}\right|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{\pi }^2+2\pi }{4}.$