Một lò xo có độ cứng 200 N/m được treo thẳng đứng: đầu trên gắn cố định với giá đỡ

Giải SBT Vật lí 10 Bài 26 - 27: Thế năng. Cơ năng 

Bài 26-27.12* trang 63 SBT Vật Lí 10: 

Lời giải:

Hệ vật ta xét gồm "Quả cầu - Lò xo - Trái Đất" là hệ cô lập.

Cơ năng W của hệ vật này có giá trị bằng tổng của động năng (W_đ), thế năng trọng trường (W_t) và thế năng đàn hồi (W_đh) :

W = W_đ + W_t + W_đh

Chọn gốc toạ độ là vị trí cân bằng của hệ vật (quả cầu đứng yên) và chiều dương là chiều lò xo bị kéo dãn. Do đó ta có :

- Tại vị trí ban đầu: hệ vật có W_đ = 0 (v₀ = 0) lò xo bị dãn một đoạn $\Delta \mathcal{l}$ so với vị trí cân bằng, nên W_t ≠ 0, W_đh ≠ 0 và cơ năng của hệ vật bằng:

${\text{W}}_0=0+mg\Delta \mathcal{l}+\frac{k{(\Delta \mathcal{l}+\Delta {\mathcal{l}}_0)}^2}{2}$

- Khi về tới vị trí cân bằng : quả cầu có W_đ ≠ 0 (v ≠ 0) và W_t = 0 (trùng với gốc tính thế năng đàn hồi), đồng thời lò xo bị dãn một đoạn $\Delta {\mathcal{l}}_0$, nên cơ năng của hệ vật bằng:

$\text{W}=\frac{m{v}^2}{2}+0+\frac{k{\left(\Delta {\mathcal{l}}_0\right)}^2}{2}$

Chú ý: Hệ vật này được treo thẳng đứng nên tại vị trí cân bằng của nó, lò xo đã bị dãn một đoạn Δ₀ thoả mãn điều kiện :

mg + k $\mathcal{l}$Δ₀ = 0 => mg = -k $\mathcal{l}$Δ₀

với P = mg là trọng lực và F_đh = $\Delta \mathcal{l}$k là lực đàn hồi tác dụng lên hệ vật

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ vật, ta có:

W = W₀ 

$\Rightarrow mg\Delta \mathcal{l}+\frac{k{(\Delta \mathcal{l}+\Delta {\mathcal{l}}_0)}^2}{2}=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{k{\left(\Delta {\mathcal{l}}_0\right)}^2}{2}\Rightarrow mg\Delta \mathcal{l}+\frac{k{\left(\Delta \mathcal{l}\right)}^2}{2}+\frac{k.\Delta \mathcal{l}\Delta {\mathcal{l}}_0}{2}+\frac{k{\left(\Delta {\mathcal{l}}_0\right)}^2}{2}=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{k{\left(\Delta {\mathcal{l}}_0\right)}^2}{2}$

Vì $mg=-k\Delta {\mathcal{l}}_0$, nên sau khi rút gọn hai vế của phương trình, ta được:

$\frac{k{\left(\Delta \mathcal{l}\right)}^2}{2}=\frac{m{v}^2}{2}$

Từ đó suy ra vận tốc của quả cầu khi nó về tới vị trí cân bằng:

$v=\Delta \mathcal{l}\sqrt{\frac{k}{m}}={5.10}^{-2}\sqrt{\frac{200}{{80.10}^{-3}}}=2,5\left(m/s\right)$