Hãy tìm phương sai, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Bài 1 trang 129 SBT Toán 10 Tập 1: Hãy tìm phương sai, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ (nếu có) của mỗi mẫu số liệu sau:

a) 90; 56; 50; 45; 46; 48; 52; 43.

b) 19; 11; 1; 16; 19; 12; 14; 10; 11.

c) 6,7; 6,2; 9,7; 6,3; 6,8; 6,1; 6,2.

d) 0,79; 0,68; 0,35; 0,38; 0,05; 0,35.

Lời giải:

a) Ta có: n = 8.

Số trung bình cộng:

Phương sai:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

43; 45; 46; 48; 50; 52; 56; 90

Khi đó, khoảng biến thiên R = 90 – 43 = 47.

Vì n = 8 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q₂ = (48 + 50) : 2 = 49.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 43; 45; 46; 48.

Vậy Q₁ = (45 + 46) : 2 = 45,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 50; 52; 56; 90.

Vậy Q₃ = (52 + 56) : 2 = 54.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 54 – 45,5 = 8,5.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 54 + 1,5.8,5 = 66,75

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 45,5 − 1,5.8,5 = 32,75

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 90.

b) Ta có: n = 9.

Số trung bình cộng:

Phương sai:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

1; 10; 11; 11; 12; 14; 16; 19; 19

Khi đó, khoảng biến thiên R = 19 – 1 = 18.

Vì n = 9 là số lẻ nên ta có tứ phân vị thứ hai Q₂ = 12.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 1; 10; 11; 11.

Vậy Q₁ = (10 + 11) : 2 = 10,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 14; 16; 19; 19.

Vậy Q₃ = (16 + 19) : 2 = 17,5.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 17,5 – 10,5 = 7.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 17,5 + 1,5.7 = 28

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 10,5 − 1,5.7 = 0

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra không có giá trị ngoại lệ.

c) Ta có: n = 7.

Số trung bình cộng:

Phương sai:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

6,1; 6,2; 6,2; 6,3; 6,7; 6,8; 9,7

Khi đó, khoảng biến thiên R = 9,7 – 6,1 = 3,6.

Vì n = 7 là số lẻ nên ta có tứ phân vị thứ hai Q₂ = 6,3.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 6,1; 6,2; 6,2.

Vậy Q₁ = 6,2.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 6,7; 6,8; 9,7.

Vậy Q₃ = 6,8.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 6,8 – 6,2 = 0,6.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 6,8 + 1,5.0,6 = 7,7

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 6,2 − 1,5.0,6 = 5,3

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 9,7.

d) Ta có: n = 6.

Số trung bình cộng:

Phương sai:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

0,05; 0,35; 0,35; 0,38; 0,68; 0,79

Khi đó, khoảng biến thiên R = 0,79 – 0,05 = 0,74.

Vì n = 6 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q₂ = (0,35 + 0,38) : 2 = 0,365.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 0,05; 0,35; 0,35.

Vậy Q₁ = 0,35.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 0,38; 0,68; 0,79.

Vậy Q₃ = 0,68.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 0,68 – 0,35 = 0,33.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 0,68 + 1,5.0,33 = 1,175

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 0,35 − 1,5.0,33 = −0,145.

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra không có giá trị ngoại lệ.