Giải bài tập trang 60, 66 Chuyên đề Toán 10 Bài 4 - Cánh diều

Giải bài tập trang 60, 66 Chuyên đề Toán 10 Bài 4 - Cánh diều

Hoạt động trang 60 Chuyên đề Toán 10:

Quan sát Hình 22a, Hình 22b, Hình 22c và nêu tỉ số khoảng cách từ một điểm M nằm trên mỗi đường conic đến tiêu điểm của nó và khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó.

Lời giải:

- Với mọi điểm M thuộc elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b >0), ta luôn có $\frac{MF}{d(M,\Delta )}=e$(0 < e < 1), trong đó F là một trong hai tiêu điểm F₁, F₂ và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F.

- Với mọi điểm M thuộc hypebol (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0), ta luôn có $\frac{MF}{d(M,\Delta )}=e$(e > 1), trong đó F là một trong hai tiêu điểm F₁, F₂ và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F.

- Với mọi điểm M thuộc parabol (P): y² = 2px (p > 0), ta luôn có $\frac{MF}{d(M,\Delta )}=1$, trong đó F là tiêu điểm và Δ là đường chuẩn ứng với tiêu điểm F.

Bài 1 trang 66 Chuyên đề Toán 10:

Cho hình chữ nhật ABCD với bốn đỉnh A(–4; 3), B(4; 3), C(4; –3), D(–4; –3).

a) Viết phương trình chính tắc của elip nhận ABCD là hình chữ nhật cơ sở. Vẽ elip đó.

b) Viết phương trình chính tắc của hypebol nhận ABCD là hình chữ nhật cơ sở. Vẽ hypebol đó.

Lời giải:

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Toạ độ của M là

$\left(x_M;y_M\right)=\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)=\left(\frac{-4+4}{2};\frac{3+3}{2}\right)=\left(0;3\right).$

Toạ độ của N là 

$\left(x_N;y_N\right)=\left(\frac{x_B+x_C}{2};\frac{y_B+y_C}{2}\right)=\left(\frac{4+4}{2};\frac{3+\left(-3\right)}{2}\right)=\left(4;0\right).$

a) Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Vì ABCD là hình chữ nhật cơ sở của elip nên M, N là hai đỉnh của elip.

Lại có: M(0; 3) $\Rightarrow$b = 3, N(4; 0) $\Rightarrow$a = 4.

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1.$

+) Vẽ elip:

Ta thấy a = 4, b = 3. Toạ độ các đỉnh của elip là (–4; 0), (5; 0), (0; – 3), (0; 3).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –4, x = 4, y = –3, y = 3.

Bước 2. Tìm một số điểm cụ thể thuộc elip, chẳng hạn ta thấy điểm $X\left(\frac{12}{5};\frac{12}{5}\right)$và điểm $Y\left(\frac{16}{5};\frac{9}{5}\right)$thuộc (E). Do đó các điểm $X_1\left(\frac{12}{5};-\frac{12}{5}\right),$$X_2\left(-\frac{12}{5};\frac{12}{5}\right),$$X_3\left(-\frac{12}{5};-\frac{12}{5}\right)$, $Y_1\left(\frac{16}{5};-\frac{9}{5}\right),$$Y_2\left(-\frac{16}{5};\frac{9}{5}\right),$$Y_3\left(-\frac{16}{5};-\frac{9}{5}\right)$cũng thuộc $\left(E\right)$.

Bước 3. Vẽ đường elip (E) đi qua các điểm cụ thể trên, nằm ở phía trong hình chữ nhật cơ sở và tiếp xúc với các cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại bốn đỉnh của (E) là (–4; 0), (4; 0), (0; –3), (0; 3).

b)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$(a > 0, b > 0).

Vì M(0; 3) và N(4;0) là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở nên a = 4, b = 3.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol cần tìm là $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$

+) Vẽ hypebol:

Ta thấy a = 4, b = 3. (H) có các đỉnh là (–4; 0), (4; 0).

Bước 1. Vẽ hình chữ nhật cơ sở có bốn cạnh thuộc bốn đường thẳng x = –4, x = 4, y = –3, y = 3.

Bước 2. Vẽ hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở.

Tim một số điểm cụ thể thuộc hypebol, chẳng hạn ta thấy điểm $X\left(\frac{20}{3};4\right)$thuộc (H). Do đó các điểm $X_1\left(\frac{20}{3};-4\right),X_2\left(-\frac{20}{3};4\right),X_3\left(-\frac{20}{3};-4\right)$thuộc (H).

Bước 3. Vẽ đường hypebol bên ngoài hình chữ nhật cơ sở; nhánh bên trái tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm (–4; 0) và đi qua X₂, X₃; nhánh bên phải tiếp xúc với cạnh của hình chữ nhật cơ sở tại điểm (4; 0) và đi qua X, X₁. Vẽ các điểm thuộc hypebol càng xa gốc toạ độ thì càng sát với đường tiệm cận. Hypebol nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng và hai trục toạ độ là hai trục đối xứng.