Giải bài tập trang 30 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 30 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Bài 9 trang 30 Chuyên đề Toán 10:

Quan sát Hình 6.

a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ và vàng xen kẽ nhau khi xếp các chấm đó từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải (tạo thành hinh vuông).

b) Giả sử hình vuông thứ n có mỗi cạnh chứa n chấm. Tinh tổng số chấm được xếp trong hình vuông (kể cả trên cạnh). Chứng minh kết quả đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a) Số chấm tăng thêm sau mỗi lượt xếp (kể từ lượt đầu tiên) là các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1.

b) Vì ở hình vuông thứ n có mỗi cạnh chứa n chấm nên tổng số chấm là n².

Như vậy ta sẽ chứng minh mệnh đề

+) Khi n = 1, ta có: 1 = 1².

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

Khi đó:

= k² + [2(k+1) – 1]

= k² + (2k + 2 –1)

= k² + 2k + 1

= (k + 1)².

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n $\in$ℕ^*.

Bài 10 trang 30 Chuyên đề Toán 10:

Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n=\frac{A(100+r)}{r}\left.{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n-1\right]$(đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi.

Lời giải:

Xét mệnh đề P(x): "Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $T_n=\frac{A(100+r)}{r}\left.{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^n-1\right]$(đồng) (n $\in$ℕ^*)".

+) Khi n = 1:

Số tiền lãi người đó nhận được là: A . r% = $\frac{A.r}{100}$(đồng).

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

A + $\frac{A.r}{100}$

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k +1) (năm) là $T_{k+1}=\frac{A(100+r)}{r}\left.{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^{k+1}-1\right]$(đồng).

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau k (năm) là:

$T_k=\frac{A(100+r)}{r}\left.{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^k-1\right]$(đồng).

Vì cô Hạnh không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa nên:

– Số tiền vốn của cô Hạnh sau (k + 1) năm là: T_k + A (đồng).

– Số tiền lãi cô Hạnh nhận được sau (k + 1) (năm) là:

(T_k + A) . r% (đồng).

– Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k + 1) (năm) là:

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ℕ^*. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

Bài 11 trang 30 Chuyên đề Toán 10:

Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{m.n}$(đồng), nếu trong khoảng thời gian này người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi.

Lời giải:

Xét mệnh đề P(x): "Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau x (kì hạn) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^x$(đồng) (x $\in$ℕ^*)".

Vì một năm có m kì hạn nên lãi suất mỗi kì hạn là $\frac{r\%}{m}=\frac{r}{100m}.$

+) Khi x = 1:

Số tiền lãi người đó nhận được là: A . $\frac{r}{100m}$(đồng).

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

A + A . $\frac{r}{100m}$= $A\left(1+\frac{r}{100m}\right)=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^1$(đồng)

Vậy mệnh đề đúng với x = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau (k + 1) (kì hạn) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{k+1}$(đồng).

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau k (kì hạn) gửi là $S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k$(đồng).

Vì sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu nên số tiền lại ở kì hạn thứ (k + 1) là: $A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k.\frac{r}{100m}$(đồng).

Suy ra số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:

$A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k+A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k.\frac{r}{100m}$

$=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^k\left(1+\frac{r}{100m}\right)=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{k+1}$

Vậy mệnh đề cũng đúng với x = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi x ℕ^*.

Sau n (năm) thì số kì hạn người đó đã gửi là: m . n (kì hạn).

Do đó, số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là:

$S_n=A{\left(1+\frac{r}{100m}\right)}^{m.n}$(đồng).