Giả sử G là một đồ thị với n đỉnh và (n-1)(n-2)/2+2 cạnh. Sử dụng Định lí Ore

Giải Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức Bài 9: Đường đi Euler và đường đi Hamilton

Bài 2.12 trang 45 Chuyên đề Toán 11: a) Giả sử G là một đồ thị với n đỉnh và $\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}+2$ cạnh. Sử dụng Định lí Ore, hãy chứng minh G có một chu trình Hamilton.

b) Tìm một đồ thị với n đỉnh và $\frac{\left(n-1\right)\left(n-2\right)}{2}+1$ cạnh mà không có chu trình Hamilton.

Lời giải:

a) Định lí Ore: Nếu G là một đồ thị có n đỉnh (n $\ge$ 3) và mỗi cặp đỉnh không kề nhau đều có tổng bậc không nhỏ hơn n thì G có một chu trình Hamilton.

Ta có lí thuyết: Giả sử G là đồ thị đơn gồm n đỉnh và m cạnh. Nếu m $\ge \frac{n^2-3n+6}{2}$ thì G là đồ thị có chu trình Hamilton.

Áp dụng vào bài toán ta được điều phải chứng minh.

b) Ta có đồ thị sau có 5 đỉnh, 7 cạnh và đồ thị không có chu trình Hamilton.