Chuyên đề Hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng lớp 8 | Chuyên đề dạy thêm Toán 8

Chủ đề 6: HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG - BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU

Dạng 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH - KHAI TRIỂN HẰNG ĐẲNG THÚC

A. PHƯƠNG PHÁP

Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.

Ta có các hằng đẳng thức bình phương sau:

+ Dùng các phép nhân đơn thức với đa thức và dùng phương pháp nhân đa thức với đa thức. Với việc cáp dụng các quy tắc vừa mới học để thực hiện. Sau đó dùng các kiến thức đã học để cộng các số hạng cùng nhân tử lại với nhau để được biểu thức gọn nhất có thể. Từ đó ta kết luận được biểu thức đang tính.

B. BÀI TẬP MẪU

Bài tập mẫu 1: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a. ${\left(3x+5\right)}^2$

b. ${\left(2x-1\right)}^2$

c. ${\left(3x+2y\right)}^2$

Hướng dẫn giải

a.$\left(3x^2\right)+2.\left(3x\right).5+5^2$

$=9x^2+30x+25$

b.$(2x{)}^2-2.\left(2x\right).1+1^2$

$=4x^2-4x+1$

c.${\left(3x\right)}^2+2.\left(3x\right).\left(2y\right)+{\left(2y\right)}^2$

$=9x^2+12xy+4y^2$

Bài tập mẫu 2: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a. ${\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2$

b.${\left(\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}\right)}^2$

c. ${\left(\frac{1}{3}x+\frac{3}{2}y\right)}^2$

Hướng dẫn giải

a. $x^2+2.x.\frac{1}{4}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2$

$=x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$

b. ${\left(\frac{1}{2}x\right)}^2-2.\frac{1}{2}x.\frac{2}{3}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2$

$=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{2}{3}x+\frac{4}{9}$

c. ${\left(\frac{1}{3}x\right)}^2+2.\frac{1}{3}x.\frac{3}{2}y+{\left(\frac{3}{2}y\right)}^2$

$=\frac{1}{9}{x}^2+xy+\frac{9}{4}{y}^2$

Bài tập mẫu 3: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a. $\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)$

b. $\left(3y+2x\right)\left(2x-3y\right)$

c. $\left(x^2+\frac{2}{5}y\right)\left(x^2-\frac{2}{5}y\right)$

Hướng dẫn giải

a. ${\left(2x\right)}^2-y^2$

$=4x^2-y^2$

b. $\left(2x+3y\right)\left(2x-3y\right)$

$={\left(2x\right)}^2-{\left(3y\right)}^2$

$=4x^2-9y^2$

c. ${\left(x^2\right)}^2-{\left(\frac{2}{5}y\right)}^2$

$=x^4-\frac{4}{25}{y}^2$

Bài tập mẫu 4: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a.${\left(\sqrt{2}x+y\right)}^2$

b.${\left(\frac{\sqrt{2}}{3}x-3y\right)}^2$

c. ${\left(\frac{\sqrt{2}}{3}x+\sqrt{8}y\right)}^2$

Hướng dẫn giải

a. ${\left(\sqrt{2}x\right)}^2+2.\sqrt{2}x.y+y^2$

$=2x^2+2\sqrt{2}xy+y^2$

b. ${\left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right)}^2-2.\frac{\sqrt{2}}{3}x.3y+{\left(3y\right)}^2$

$=\frac{2}{9}{x}^2-2\sqrt{2}xy+9y^2$

c. ${\left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right)}^2+2.\frac{\sqrt{2}}{3}x.\sqrt{8}y+{\left(\sqrt{8}y\right)}^2$

$=\frac{2}{9}{x}^2+\frac{8}{3}xy+8y^2$

Bài tập mẫu 5: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a.$\left(\frac{x}{2}+2y^2\right)\left(\frac{x}{2}-2y^2\right)$

b. ${\left(2x+3\right)}^2-{\left(x+1\right)}^2$

c. ${\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2$

Hướng dẫn giải

a. ${\left(\frac{x}{2}\right)}^2-{\left(2y^2\right)}^2$

$=\frac{x^2}{4}-4y^4$

b. $\left(2x+3+x+1\right)\left(2x+3-x-1\right)$

$=\left(3x+4\right)\left(x+2\right)$

c. $\left(x+y+x-y\right)\left(x+y-x+y\right)$

$=2x.2y=4xy$

Bài tập mẫu 6: Viết các biểu thức sau thành bình phương của tổng-hiệu:

a.$x^2-6x+9$

b. $-x^2+10x-25$

c. $\frac{1}{9}-\frac{2}{3}{x}^4+x^8$

Hướng dẫn giải

a. $x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2$

$={\left(x-3\right)}^2$

b. $-\left(x^2-10x+25\right)=-\left(x^2-2x\cdot 5+5^2\right)$

$=-{\left(x-5\right)}^2$

c. ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2.x^4.\left(\frac{1}{3}\right)+{\left(x^4\right)}^2$

$={\left(\frac{1}{3}-x^4\right)}^2$

Bài tập mẫu 7: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a. ${\left(3x+2\right)}^2-4$

b. $9x^2-25y^2$

c. $\frac{9}{25}{x}^4-\frac{1}{4}$

Hướng dẫn giải

a. ${\left(3x+2\right)}^2-2^2$

$=\left(3x+2-2\right)\left(3x+2+2\right)$

$=3x\left(3x+4\right)$

b. ${\left(3x\right)}^2-{\left(5y\right)}^2$

$=\left(3x-5y\right)\left(3x+5y\right)$

c. ${\left(\frac{3}{5}{x}^2\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$=\left(\frac{3}{5}{x}^2-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{5}{x}^2+\frac{1}{2}\right)$

+ Ngoài ra: Ta còn có thể sử dụng các hằng đẳng thức mở rộng sau:

1. ${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

2. ${\left(a+b-c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac$

3. ${\left(a-b-c\right)}^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac$

Bài tập mẫu 8: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu:

a. $A=x^2+5x+\frac{25}{4}$

b.$B=16x^2-8x+1$

c.$C=4x^2+12xy+9y^2$

Hướng dẫn giải

a. $A=x^2+2.x.\frac{5}{2}+{\left(\frac{5}{2}\right)}^2$

$A={\left(x+\frac{5}{2}\right)}^2$

b. $B={\left(4x\right)}^2-2.4x.1+1^2$

$B={\left(4x-1\right)}^2$

c. $C={\left(2x\right)}^2+2.2x.3y+{\left(3y\right)}^2$

$C={\left(2x+3y\right)}^2$

Bài tập mẫu 9: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng hay một hiệu:

a.$A=\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)\left(x+6\right)+1$

b. $B=x^2+y^2+2x+2y+2\left(x+1\right)\left(y+1\right)+2$

c. $C=x^2-2x\left(y+2\right)+y^2+4y+4$

Hướng dẫn giải

a. $A=\left(x+3\right)\left(x+6\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)+1=\left(x^2+9x+18\right)\left(x^2+9x+20\right)+1$

Đặt: $t=x^2+9x+18$. Khi đó: $A=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1={\left(t+1\right)}^2$

Thay $t=x^2+9x+18$ vào $:A={\left(x^2+9x+18+1\right)}^2={\left(x^2+9x+19\right)}^2$.

b. $B=x^2+y^2+2x+2y+2\left(xy+x+y+1\right)+2$

$=x^2+y^2+2x+2y+2xy+2x+2y+2+2$

$=x^2+y^2+4+4x+4y+2xy$

$=x^2+y^2+2^2+2xy+2.x.2+2.y.2={\left(x+y+2\right)}^2$(hằng đẳng thức mở rộng)

c. $C=x^2-2xy-4x+y^2+4y+4$

$=x^2+y^2+2^2+2xy+2.x.2+2.y.2={\left(x+y+2\right)}^2$(mở rộng)

Bài tập mẫu 10: Thực hiện các phép tính sau.

a. $2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+{\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2$

b.${\left(2x+3\right)}^2+{\left(2x--3\right)}^2--\left(2x+3\right)\left(4x--6\right)+xy$

c. ${\left(x+6\right)}^2-2\mathrm{x}\left(x+6\right)+\left(x-6\right)\left(x+6\right)$

d. ${\left(2x+3\right)}^2+{\left(2x+5\right)}^2--2\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)$

Hướng dẫn giải

a. Ta có : $2\left(x-y\right)\left(x+y\right)+{\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2$

$=2x^2-2y^2+x^2+2xy+y^2+x^2-2xy+y^2=4x^2$

b. Ta có ${\left(2x+3\right)}^2+{\left(2x-3\right)}^2-\left(2x+3\right)\left(4x-6\right)+xy$

$={\left(2x+3\right)}^2-2\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+{\left(2x-3\right)}^2+xy$

$={\left(2x+3-2x+3\right)}^2+xy$

c.Ta có ${\left(x+6\right)}^2-2\mathrm{x}\left(x+6\right)+\left(x-6\right)\left(x+6\right)$

$=x^2+2.x.6+6^2-2x.x-2x.6+x.x+x.6-6.x-6.6$

$=x^2+12x+36-2x^2-12x+x^2+6x-6x-36=0$

d.Ta có : ${\left[\left(2x+3\right)-\left(2x+5\right)\right]}^2={\left(2x+3-2x-5\right)}^2=4$

Bài tập mẫu 11: Thực hiện các phép tính sau.

a. ${\left(2x+1\right)}^2+2\left(4x^2--1\right)+{\left(2x--1\right)}^2$

b. $\left(x--3\right)\left(x+3\right)--{\left(x--3\right)}^2$

c. ${\left(x-1\right)}^2--\left(x+4\right)\left(x-4\right)$

d. ${\left(x--3\right)}^2--{\left(x+2\right)}^2$

Hướng dẫn giải

a. ${\left(2x+1+2x-1\right)}^2=16x^2$

b. $x^2-9-\left(x^2-6x+9\right)=6x-18$

c. $x^2-2x+1-\left(x^2-16\right)=x^2-2x+1-x^2+16=-2x+17$

d. $\left(x^2-6x+9\right)-\left(x^2+4x+4\right)=x^2-6x+9-x^2-4x-4=5-10x$

Bài tập mẫu 12: Thực hiện các phép tính sau.

a. $\left(2x+3\right)\left(2x--3\right)--{\left(2x+1\right)}^2$

b. ${\left(x--2\right)}^2--\left(x--1\right)\left(x+1\right)--x\left(1--x\right)$

c. ${\left(2x-1\right)}^2+{\left(x+1\right)}^2+2\left(2x-1\right)\left(x+1\right)$

d. ${\left(2x+3\right)}^2-2\left(2x+3\right)\left(2x+5\right)+{\left(2x+5\right)}^2$

Hướng dẫn giải

a. $4x^2-9-\left(4x^2+4x+1\right)=4x^2-9-4x^2-4x-1=-4x-10$

b. $x^2-4x+4-x^2+1-x+x^2=x^2-5x+5$

c. ${\left(2x-1\right)}^2+2\left(2x-1\right)\left(x+1\right)+{\left(x+1\right)}^2{\left(2x-1+x+1\right)}^2={\left(3x\right)}^2=9x^2$

d. ${\left[2x+3-\left(2x+5\right)\right]}^2={\left[2x+3-2x-5\right]}^2={\left(-2\right)}^2=4$

Cách khác: Biến đổi thông thường

$4x^2+12x+9-2\left(4x^2+10x+6x+15\right)+4x^2+20x+25$

$=4x^2+12x+9-8x^2-20x-12x-30+4x^2+20x+25$

$A=4$

Bài tập mẫu 13: Thực hiện các phép tính sau.

a. ${\left(x+y\right)}^2-{\left(x-y\right)}^2$

b. ${\left(x+y\right)}^2-2\left(x+y\right)\left(x-y\right)+{\left(x-y\right)}^2$

Hướng dẫn giải

a. $x^2+2xy+y^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)=x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=4xy$

Cách khác:$\left(x+y+x-y\right)\left(x+y-x+y\right)=2x.2y=4xy$.

b. ${\left(x+y-x+y\right)}^2=4y^2$

Cách khác:

$x^2+2xy+y^2-2\left(x^2-xy+xy+y^2\right)+x^2-2xy+y^2$

$=x^2+2xy+y^2-2x^2+2xy-2xy-2y^2+x^2-2xy+y^2=4y^2$