Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên R

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Bài 4 trang 60 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = $\frac{2}{3}x+5$ với $x\in ℝ$. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.

Lời giải:

Với bất kỳ thuộc ta có:

$y_1=f\left(x_1\right)=\frac{2}{3}{x}_1+5y_2=f\left(x_2\right)=\frac{2}{3}{x}_2+5$

Xét T = $\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$

$=\frac{\left(\frac{2}{3}{x}_1+5\right)-\left(\frac{2}{3}{x}_1+5\right)}{x_1-x_2}$

$\iff T=\frac{\frac{2}{3}{x}_1+5-\frac{2}{3}{x}_2-5}{x_1-x_2}\iff T=\frac{\frac{2}{3}\left(x_1-x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{2}{3}>0$

Không mất tính tổng quát

giả sử x₁ < x₂ thì x₁ – x₂ < 0

$\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)<0\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$

Do đó hàm số y = $\frac{2}{3}x-5$ đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$.