Chứng minh rằng hàm số đã cho nghịch biến trên R

Giải SBT Toán 9 Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

Bài 1.2 trang 61 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = $4-\frac{2}{5}x$ với x ∈ R. Chứng minh rằng hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$.

Lời giải:

Với bất kỳ thuộc ta có:

$y_1=f\left(x_1\right)=4-\frac{2}{5}x{y}_2=f\left(x_2\right)=4-\frac{2}{5}{x}_2$

Xét T = $\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$

$=\frac{\left(4-\frac{2}{5}{x}_1\right)-\left(4-\frac{2}{5}{x}_1\right)}{x_1-x_2}\iff T=\frac{-\frac{2}{5}{x}_1+4+\frac{2}{5}{x}_2-4}{x_1-x_2}\iff T=\frac{-\frac{2}{5}{x}_1+\frac{2}{5}{x}_2}{x_1-x_2}\iff T=\frac{-\frac{2}{5}\left(x_1-x_2\right)}{x_1-x_2}=-\frac{2}{5}<0$

Không mất tính tổng quát

giả sử x₁ < x₂ thì x₁ – x₂ < 0

$\Rightarrow f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$

Do đó hàm số y = $4-\frac{2}{5}x$ nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$.