Chứng minh

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Bảng căn bậc hai

Bài 53 trang 13 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: 

a) Số $\sqrt{3}$ là số vô tỉ

b) Các số 5$\sqrt{2}$ , 3 + $\sqrt{2}$ đều là số vô tỉ.

Lời giải:

a) Giả sử $\sqrt{3}$ không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho $\sqrt{3}$ = $\frac{a}{b}$ với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: ${\left(\sqrt{3}\right)}^2$ = ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2$ hay a² = 3b² (1)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c với c là số nguyên.

Thay a = 3c vào (1) ta được: (3c)² = 3b² hay b² = 3c²

Kết quả trên chứng tỏ b chia hết cho 3.

Hai số a và b đều chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy $\sqrt{3}$ là số vô tỉ.

b)

* Giả sử 5$\sqrt{2}$ là số hữu tỉ a,

nghĩa là: 5$\sqrt{2}$ = a

Suy ra: $\sqrt{2}$ = $\frac{a}{5}$ hay $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Vậy 5$\sqrt{2}$  là số vô tỉ.

* Giả sử 3 + $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ b,

nghĩa là: 3 + $\sqrt{2}$ = b

Suy ra: $\sqrt{2}$ = b - 3 hay $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.

Điều này vô lí vì $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Vậy 3 + $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.