Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng

Giải Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Video Giải Bài 10 trang 104 Toán lớp 9 tập 1

Bài 10 trang 104 Toán lớp 9 tập 1:

a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

b) DE < BC.

Lời giải:

a)

Gọi O là trung điểm của BC

$\Rightarrow OB=OC=\frac{1}{2}BC$ (1)

Xét tam giác DBC vuông tại D (do DB là đường cao của tam giác ABC)

Có DO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

$\Rightarrow OD=\frac{1}{2}BC$ (2) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ (1) và (2) ta có: 

$OB=OC=OD=\frac{1}{2}BC$

Do đó, ba điểm B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm O bán kính OB.

Xét tam giác BEC vuông tại E (do CE là đường cao của tam giác ABC)

Có EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

$\Rightarrow OE=\frac{1}{2}BC$ (3) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ (1) và (3) ta có: 

$OB=OC=OE=\frac{1}{2}BC$

Do đó, ba điểm B, C, E cùng nằm trên đường tròn tâm O bán kính OB.

Do đó, bốn điểm B, C, E, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O bán kính OB.

b)

Xét đường tròn tâm O bán kính OB có đường kính BC.

Ta có DE là một dây cung không đi qua tâm O nên BC > DE do trong một đường tròn dây cung lớn nhất là đường kính.