Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A

Giải Toán 9 Luyện tập trang 123

Bài 39 trang 123 Toán lớp 9 tập 1:

a) Chứng minh rằng $\widehat{BAC}={90}^o$.

b) Tính số đo góc OIO’.

c) Tính độ dài BC, biết OA = 9cm, O’A = 4cm.

Lời giải:

a)

Xét đường tròn (O) có IB, IA là hai tiếp tuyến lần lượt tại B, A, IB và IA giao nhau tại I.

$\Rightarrow IB=IA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)

Xét đường tròn (O’) có IC, IA là hai tiếp tuyến lượt tại C, A, IC và IA giao nhau tại I.

$\Rightarrow IC=IA$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $IB=IC=IA=\frac{1}{2}BC$

Xét tam giác ABC có

I là trung điểm của BC (do IB = IC)

Do đó, AI là trung tuyến ứng với cạnh BC

Mà $IA=\frac{1}{2}BC$

Do đó, tam giác ABC vuông tại A (do tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông)

$\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^o$

b)

Xét đường tròn (O) có IB, IA là hai tiếp tuyến lần lượt tại B, A, IB và IA giao nhau tại I.

Do đó, IO là tia phân giác của góc BIA $\Rightarrow \widehat{I_1}=\widehat{I_2}$

Xét đường tròn (O’) có IC, IA là hai tiếp tuyến lượt tại C, A, IC và IA giao nhau tại I.

Do đó, IO’ là tia phân giác của góc CIA $\Rightarrow \widehat{I_3}=\widehat{I_4}$

Lại có $\widehat{I_1}+\widehat{I_2}+\widehat{I_3}+\widehat{I_4}={180}^o$

$\Rightarrow 2\widehat{I_2}+2\widehat{I_3}={180}^o$ (do $\widehat{I_1}=\widehat{I_2},\widehat{I_3}=\widehat{I_4}$)

$\Rightarrow \widehat{I_2}+\widehat{I_3}={90}^o\Rightarrow \widehat{OIO\text{'}}={90}^o$

c)

Vì IA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn nên $IA\perp OA$, $IA\perp O\text{'}A$

$\Rightarrow IA\perp OO\text{'}$ tại A

Xét tam giác OIO’ vuông tại I

Có IA là đường cao (do $IA\perp OO\text{'}$)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$A{I}^2=AO.AO\text{'}=9.4=36\Rightarrow AI=\sqrt{36}=6\left(cm\right)$

Có BC = 2AI (chứng minh phần A)

$\Rightarrow$ BC = 2.6 = 12 (cm)