Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d

Giải Chuyên đề Toán 11 Kết nối tri thức Bài tập cuối chuyên đề 1

Bài 1.31 trang 33 Chuyên đề Toán 11: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho $\overrightarrow{EF}$ không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta có: $\left.\overrightarrow{EF}\right|=m$ (m > 0) không đổi.

Đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{EF}\left(\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}\right)$, $\overrightarrow{u}$ không đổi, khi đó $\left.\overrightarrow{u}\right|=m$ không đổi.

Gọi G là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{\mathrm{-u}}$. Khi đó $\overrightarrow{BG}=-\overrightarrow{u}$. Vì B cố định và $\overrightarrow{u}$ không đổi nên G cố định. Gọi G' là ảnh của G qua phép đối xứng trục d thì G' cố định.

Gọi giao điểm của AG' và đường thẳng d là E, trên d lấy điểm F thỏa mãn EF = m và $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{BG}$ hay $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GB}$. Khi đó BGEF là hình bình hành nên BF = GE.

Mà G và G' đối xứng nhau qua d nên GE = G'E. Do đó BF = GE = G'E.

Ta có: AE + BF = AE + G'E = AG' (1).

Ta có E và F như trên là hai điểm cần tìm để AE + BF nhỏ nhất.

Thật vậy, gọi E' và F' là 2 điểm trên d, khác E và F sao cho $\overrightarrow{E\text{'}F\text{'}}=\overrightarrow{u}$ và $\left.\overrightarrow{E\text{'}F\text{'}}\right|=\left.\overrightarrow{u}\right|=m$.

Ta có: AE' + BF' = AE' + GE' = AE' + G'E' > AG' (2) (bất đẳng thức trong tam giác AG'E').

Từ (1) và (2) suy ra AE + BF < AE' + BF'. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.