Anonymous

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 22 có đáp án chi tiết

- asked 4 months agoVotes

0Answers

0Views

Bài tập tuần Toán lớp 8 Tuần 22 có đáp án

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $\frac{4}{x - 1} - \frac{5}{x - 2} = - 3$

b) $3 x - \frac{1}{x - 2} = \frac{x - 1}{2 - x}$

$\frac{x + 4}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{2 x + 5}{x^{2} - 4 x + 3}$

d) $\frac{2}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x (x - 2)} + \frac{x - 4}{x (x + 2)} = 0$

$\frac{4 x}{x^{2} + 4 x + 3} - 1 = 6 (\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{2 x + 2})$

$\frac{3}{4 (x - 5)} + \frac{15}{50 - 2 x^{2}} = \frac{7}{6 x + 30}$

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x^{2} - 5}{x^{3} - 1} = \frac{4}{x^{2} + x + 1}$

$\frac{12 x + 1}{6 x - 2} - \frac{9 x - 5}{3 x + 1} = \frac{108 x - 36 x^{2} - 9}{4 (9 x^{2} - 1)}$

i) $x + \frac{1}{x} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

j) $\frac{1}{x} + 2 = (\frac{1}{x} + 2) (x^{2} + 2)$

Bài 2: Cho $Δ A B C$ có $A B = 6 c m,$ $A C = 9 c m,$ $B C = 10 c m$ , đường phân giác trong AD, đường phân giác ngoài AE.

a) Tính DB,DC,EB.

b) Đường phân giác CF của $Δ A B C$ cắt AD ở I. Tính tỉ số diện tích $Δ D I F$ và diện tích $Δ A B C$ .

Bài 3: Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong $B D, B C = 10 c m, A B = 15 c m$ . Tính AD,DC.

Bài 4: Cho tam giác ABC có 3 phân giác trong AM,BN,CP cắt nhau tại I. Chứng minh

a) $\frac{A P}{A P} \cdot \frac{B M}{B C} \cdot \frac{C N}{C A} = 1$

b) $\frac{M I}{M A} + \frac{N I}{N B} + \frac{P I}{P C} = 1$

PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI

a) $\frac{4}{x - 1} - \frac{5}{x - 2} = - 3$

Điêu kiện:

$\begin{array}{l} x - 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq 1 \\ x \neq 2 \end{array}$

Mẫu chung: $(x - 1) (x - 2)$

Phương trình (1) trở thành:

$\frac{4 (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} - \frac{5 (x - 1)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{- 3 (x - 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 2)} \Rightarrow 4 (x - 2) - 5 (x - 1) = - 3 (x - 1) (x - 2) \Leftrightarrow 4 x - 8 - 5 x + 5 = - 3 (x^{2} - 3 x + 2) \Leftrightarrow - x - 3 = - 3 x^{2} + 9 x - 6 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 10 x + 3 = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 9 x - x + 3 = 0 \Leftrightarrow 3 x (x - 3) - (x - 3) = 0 \Leftrightarrow (x - 3) (3 x - 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{l} x - 3 = 0 \\ 3 x - 1 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 3 (tm) \\ x = \frac{1}{3} (L) \end{array}$ (nhận)

Vậy $S = \frac{1}{3}; 3\}$

b) $3 x - \frac{1}{x - 2} = \frac{x - 1}{2 - x}$

Điều kiện: $x - 2 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2$

Mẫu chung: $x - 2$

Phương trình (2) trở thành:

$\frac{3 x (x - 2)}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} = \frac{- (x - 1)}{x - 2} \Rightarrow 3 x (x - 2) - 1 = - (x - 1) \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x - 1 + x - 1 = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 5 x - 2 = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x + x - 2 = 0 \Leftrightarrow 3 x (x - 2) + (x - 2) = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (3 x + 1) = 0 \Leftrightarrow \begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ 3 x + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 2 (L) \\ x = \frac{- 1}{3} (tm) \end{array}$

Vậy $S = \frac{- 1}{3}\}$

$\frac{x + 4}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{x + 1}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{2 x + 5}{x^{2} - 4 x + 3} \Leftrightarrow \frac{x + 4}{(x - 1) (x - 2)} + \frac{x + 1}{(x - 1) (x - 3)} = \frac{2 x + 5}{(x - 1) (x - 3)} (3)$

Điều kiện :

$\begin{array}{l} x - 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq 1 \\ x \neq 2 \\ x \neq 3 \end{array}$

Phương trình (3) trở thành

$\frac{(x + 4) (x - 3)}{(x - 1) (x - 2) (x - 3)} + \frac{(x + 1) (x - 2)}{(x - 1) (x - 3) (x - 2)} = \frac{(2 x + 5) (x - 2)}{(x - 1) (x - 3) (x - 2)} \Rightarrow (x + 4) (x - 3) + (x + 1) (x - 2) = (2 x + 5) (x - 2) \Leftrightarrow x^{2} + x - 12 + x^{2} - x - 2 = 2 x^{2} + x - 10 \Leftrightarrow - x = 4$

$\Leftrightarrow - x = 4$ (nhận)

Vậy $S = - 4\}$

$\frac{2}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x (x - 2)} + \frac{x - 4}{x (x + 2)} = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{1}{x (x - 2)} + \frac{x - 4}{x (x + 2)} = 0$ (4)

Điều kiện: $\begin{array}{l} x \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq 0 \\ x \neq - 2 \\ x \neq 2 \end{array}$

Mẫu chung: $x (x + 2) (x - 2)$

Phương trình (4) trở thành:

$\frac{2 x}{(x - 2) (x + 2) x} - \frac{1 (x + 2)}{x (x - 2) (x + 2)} + \frac{(x - 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0 \begin{array}{l} \Rightarrow 2 x - (x + 2) + (x - 4) (x - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x - x - 2 + x^{2} - 6 x + 8 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 x + 6 = 0 \\ \Leftrightarrow x (x - 2) - 3 (x - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow \begin{array}{l} x - 2 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 2 \\ x = 3 \end{array} \end{array}$

Vậy $S = 3\}$

$\frac{4 x}{x^{2} + 4 x + 3} - 1 = 6 (\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{2 x + 2}) \Leftrightarrow \frac{4 x}{(x + 1) (x + 3)} - 1 = 6 (\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{2 (x + 1)}) (5)$

Điều kiện: $\begin{array}{l} x + 1 \neq 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq - 1 \\ x \neq - 3 \end{array}$

Mẫu chung: $2 (x + 1) (x + 3)$

Phương trình (5) trở thành:

$\begin{array}{l} \frac{4.2 x}{2 (x + 1) (x + 3)} - \frac{2 (x + 1) (x + 3)}{2 (x + 1) (x + 3)} \\ = 6 (\frac{1 (x + 1) .2}{(x + 3) (x + 1) .2} - \frac{1 (x + 3)}{2 (x + 1) (x + 3)}) \\ \Rightarrow 4.2 x - 2 (x + 1) (x + 3) \\ = 6 (2 (x + 1) - ((x + 3)) \\ \Leftrightarrow 8 x - 2 (x^{2} + 4 x + 3) \\ = 6 (2 x + 2 - x - 3) \\ \Leftrightarrow 8 x - 2 x^{2} - 8 x - 6 = 6 (x - 1) \\ \Leftrightarrow - 2 x^{2} - 6 x = 0 \\ \Leftrightarrow - 2 x (x + 3) = 0 \\ \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 0 \\ x + 3 = 0 \end{array} \\ \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 0 & (t/m) \\ x = - 3 & (L) \end{array} \end{array}$

Vậy $S = 0\}$

$\frac{3}{4 (x - 5)} + \frac{15}{50 - 2 x^{2}} = \frac{7}{6 x + 30} \Leftrightarrow \frac{3}{4 (x - 5)} - \frac{15}{2 (x^{2} - 25)} = \frac{7}{6 (x + 5)} \Leftrightarrow \frac{3}{4 (x - 5)} - \frac{15}{2 (x - 5) (x + 5)} = \frac{7}{6 (x + 5)} (6)$

Điều kiện: $\begin{array}{l} x + 5 \neq 0 \\ x - 5 \neq 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq - 5 \\ x \neq 5 \end{array}$

Mẫu chung: $12 (x + 5) (x - 5)$

Phương trình (6) trở thành

$\frac{3.3 (x + 5)}{4.3 (x + 5) (x - 5)} - \frac{15.6}{2 (x - 5) (x + 5)} = \frac{7.2 (x - 5)}{6 (x + 5) .2 (x - 5)} \begin{array}{l} \Rightarrow 9 (x + 5) - 15.6 = 14 (x - 5) \\ \Leftrightarrow 9 x + 45 - 90 = 14 x - 70 \\ \Leftrightarrow - 5 x = - 25 \end{array}$

$\Leftrightarrow x = 5$ (loại)

Vậy $S = {\emptyset}$

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x^{2} - 5}{x^{3} - 1} = \frac{4}{x^{2} + x + 1} \Leftrightarrow \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x^{2} - 5}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{4}{x^{2} + x + 1} (7)$

Điều kiện: $x - 1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1$

vì $x^{2} + x + 1 > 0 \forall x$

Mẫu chung: $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Phương trình (7) trở thành

$\begin{array}{l} \frac{1 (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} + \frac{2 x^{2} - 5}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \\ = \frac{4 (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} \\ \Rightarrow x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 5 = 4 x - 4 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 x = 0 \\ \Leftrightarrow 3 x (x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 0 \\ x - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = 0 (tm) \\ x = 1 (L) \end{array} \end{array}$

Vậy $S = {0}$

$\frac{12 x + 1}{6 x - 2} - \frac{9 x - 5}{3 x + 1} = \frac{108 x - 36 x^{2} - 9}{4 (9 x^{2} - 1)} \Leftrightarrow \frac{12 x + 1}{2 (3 x - 1)} - \frac{9 x - 5}{3 x + 1} = \frac{108 x - 36 x^{2} - 9}{4 (3 x - 1) (3 x + 1)} (8)$

Điều kiện: $\begin{array}{l} 3 x - 1 \neq 0 \\ 3 x + 1 \neq 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{l} x \neq \frac{1}{3} \\ x \neq \frac{- 1}{3} \end{array}$

Mẫu chung: $4 (3 x + 1) (3 x - 1)$

Phương trình (8) trở thành:

$\frac{2 (12 x + 1) (3 x + 1)}{2.2 (3 x + 1) (3 x - 1)} - \frac{4 (9 x - 5) (3 x - 1)}{4 (3 x + 1) (3 x - 1)} = \frac{108 x - 36 x^{2} - 9}{4 (3 x - 1) (3 x + 1)} \begin{array}{l} \Rightarrow 2 (12 x + 1) (3 x + 1) \\ - 4 (9 x - 5) (3 x - 1)) \\ = 108 x - 36 x^{2} - 9 \\ \Leftrightarrow 2 (36 x^{2} + 15 x + 1) \\ - 4 (27 x^{2} - 24 x + 5) \\ - 108 x + 36 x^{2} + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow 72 x^{2} + 30 x + 2 \\ - 108 x^{2} + 96 x - 20 \\ - 108 x + 36 x^{2} + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow 18 x - 9 = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow x = \frac{9}{18} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$ (nhận)

Vậy $S = \frac{1}{2}\}$

$x + \frac{1}{x} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 x . \frac{1}{x} \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} - (x + \frac{1}{x}) - 2 = 0$

Điều kiện: $x \neq 0$

Đặt $x + \frac{1}{x} = t,$ phương trình (9) trở thành

$\begin{array}{l} t^{2} - t - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow t^{2} + t - 2 t - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow t (t + 1) - 2 (t + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (t - 2) (t + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow \begin{array}{l} t - 2 = 0 \\ t + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} t = 2 \\ t = - 1 \end{array} \end{array}$

Với $t = 2,$ ta có :

$x + \frac{1}{x} = 2 \Rightarrow x^{2} + 1 = 2 x \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ (nhận)

Với $t = - 1,$ ta có :

$x + \frac{1}{x} = - 1 \Rightarrow x^{2} + 1 = - x \Leftrightarrow x^{2} + x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} = 0$ (vô nghiệm)

vì ${(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0 \forall x$

Vậy $S = 1\}$

$\frac{1}{x} + 2 = (\frac{1}{x} + 2) (x^{2} + 2) \Leftrightarrow \frac{1}{x} + 2 - (\frac{1}{x} + 2) (x^{2} + 2) = 0$

Điều kiện: $x \neq 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (\frac{1}{x} + 2) - (\frac{1}{x} + 2) (x^{2} + 2) = 0 \\ \Leftrightarrow (\frac{1}{x} + 2) (1 - x^{2} - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow (\frac{1}{x} + 2) (- x^{2} - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow - (\frac{1}{x} + 2) (x^{2} + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} + 2 = 0 \end{array}$

Vì $(x^{2} + 1) > 0 \forall x \Rightarrow 1 + 2 x = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{- 1}{2}$

Vậy $S = \frac{- 1}{2}\}$

Bài 2:

Ta có:

$\frac{B D}{C D} = \frac{A B}{A C} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

(do AD là phân giác trong của $Δ A B C$ )

$\Rightarrow B D = \frac{2}{3} \cdot D C$

Mà $B D + D C = B C = 10$ (do D nằm giữa B và C)

$\Rightarrow \frac{2}{3} D C + D C = 10 \Rightarrow \frac{5}{3} D C = 10 \Rightarrow D C = 6 c m \Rightarrow B D = 4 c m$

Ta có: $C E = B E + B C = B E + 10$ (do B nằm giữa E và C)

Và $\frac{B E}{C E} = \frac{A B}{A C} = \frac{2}{3}$ (do AE là phân giác ngoài của $Δ A B C$ )

$\Rightarrow \frac{B E}{B E + 10} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3 B E = 2 (B E + 10) \Rightarrow B E = 20 c m$

Vậy $B D = 4 c m, D C = 6 c m, B E = 20 c m$

Bài 3:

$\frac{D A + D C}{D C} = \frac{B A + B C}{B C} \Rightarrow \frac{A C}{D C} = \frac{15 + 10}{10} \Rightarrow D C = \frac{10. A C}{25} = \frac{10.15}{25} = 6 (c m)$

Ta có:

$D A + D C = A C \Rightarrow A D = A C - D C = 15 - 6 = 9 (c m)$

Bài 4:

a) Ta có AM là phân giác của góc A

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có

$\frac{M B}{M C} = \frac{A B}{A C}$

Tương tự đối với các đường phân giác BN,CP ta có:

$\frac{N C}{N A} = \frac{B C}{B A}; \frac{P A}{P B} = \frac{C A}{C B}$

Do đó:

$\frac{M B}{M C} \cdot \frac{N C}{N A} \cdot \frac{P A}{P B} = \frac{A B}{A C} \cdot \frac{B C}{B A} \cdot \frac{C A}{C B} = 1$

Vậy $\frac{A P}{A P} \cdot \frac{B M}{B C} \cdot \frac{C N}{C A} = 1$

b) Gọi a,b,c lần lượt là độ dài của các cạnh BC,CA,AB.

Trong $Δ A B M$ thì BI là phân giác ứng với cạnh AM nên

$\frac{M I}{I A} = \frac{B M}{B A} = \frac{B M}{c} \Rightarrow \frac{M I}{M I + I A} = \frac{B M}{B M + c} \Rightarrow \frac{M I}{M A} = \frac{B M}{B M + c} (1)$

Trong $Δ A C M$ thì CI là phân giác ứng với cạnh AM nên

$\frac{M I}{I A} = \frac{C M}{C A} = \frac{C M}{b} \Rightarrow \frac{M I}{M I + I A} = \frac{C M}{C M + b} \Rightarrow \frac{M I}{M A} = \frac{C M}{C M + b}$

Mà CM = BC - BN = a - BM.

Nên $\frac{M I}{M A} = \frac{a - B M}{a - B M + b} (2)$

So sánh (1) và (2) ta có:

$\frac{M I}{M A} = \frac{B M}{B M + c} = \frac{a - B M}{a - B M + b} = \frac{B M + a - B M}{B M + c + a - B M + b} \Rightarrow \frac{M I}{M A} = \frac{a}{a + b + c}$

Chứng minh tương tự ta có:

$\frac{N I}{B N} = \frac{b}{a + b + c}$

$\frac{P I}{C P} = \frac{c}{a + b + c}$

Suy ra:

$\frac{M I}{M A} + \frac{N I}{B N} + \frac{P I}{C P} = \frac{a}{a + b + c} + \frac{b}{a + b + c} + \frac{c}{a + b + c} = \frac{a + b + c}{a + b + c} = 1$