Tìm hệ số \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{3n + 1}}\) với \(x \ne 0\), biết n là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4{\rm{A}}_n^2\)

\(\begin{array}{l}3C_{n + 1}^2 + nP_2^{} = 4A_n^2\\ \Leftrightarrow 3\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n + 1 - 2} \right)!}} + n.2! = 4\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2!} \right)}}\\ \Leftrightarrow 3.\dfrac{1}{2}\left( {n + 1} \right)n + 2n = 4n\left( {n - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 5}}{2}{n^2} + \dfrac{{15}}{2}n = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\left( L \right)\\n = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+ Khi đó khai triển là \({\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{3.3 + 1}} = {\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}}\)

+ Số hạng tổng quát trong khai triển của \({\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}}\) là: \(T_{k + 1}^{} = C_{10}^k.{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^{10 - k}}.{\left( {{x^3}} \right)^k} = C_{10}^k.{x^{4k - 10}}\)

+ Số hạng chứa \({x^6}\)ứng với: \(4k - 10 = 6 \Rightarrow k = 4\)

Vậy Hệ số của số hạng chứa\({x^6}\) là: \(C_{10}^4 = 210\)

Chọn D.