Toán 12 Bài 3 (Cánh diều): Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Hoạt động 3 trang 24 Toán 12 Tập 1

Lời giải:

Ta có: $\{\begin{array}{l}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-1}=0\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(x+1\right)\right]=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-1}=0\end{array}$

Luyện tập 3 trang 25 Toán 12 Tập 1

Lời giải:

Ta có: $y=f\left(x\right)=\frac{-x^2-2x+3}{x+2}=-x+\frac{3}{x+2}$.

Xét $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(-x\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3}{x+2}=0$.

Vậy đường thẳng $y=-x$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{-x^2-2x+3}{x+2}$

Luyện tập 4 trang 26 Toán 12 Tập 1

Lời giải:

Ta có: $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x+3}=x-6+\frac{20}{x+3}$.

Xét $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[f\left(x\right)-\left(x-6\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{20}{x+3}=0$.

Vậy đường thẳng $y=x-6$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-3x+2}{x+3}$

Bài tập

Bài 1 trang 27 Toán 12 Tập 1

A. $x=-1$.

B. $x=-2$.

C. $x=1$.

D. $x=2$.

Lời giải:

Ta có: $D=R\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$

Xét $\underset{x\to -1^{+}}{lim}y=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\frac{x+2}{x+1}=+\mathrm{\infty }$.

Vậy đưởng thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x+1}$.

Chọn A

Bài 2 trang 27 Toán 12 Tập 1

A. $y=x$.

B. $y=x+1$.

C. $y=x+2$.

D. $y=x+3$.

Ta có: $y=\frac{x^2+3x+5}{x+2}=x+1+\frac{3}{x+2}$

Xét $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x-6\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3}{x+2}=0$

Vậy đường thẳng $y=x+1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+3x+5}{x+2}$

Bài 3 trang 27 Toán 12 Tập 1

a) $y=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}$.

b) $y=\frac{2x^2+x+1}{x-1}$

c) $y=\frac{2x^2-2}{x^2+2}$

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\frac{2x^2-2}{x^2+2}=2$. Do đó đường thẳng $y=2$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-2}{x^2+2}$. Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-2}{x^2+2}$ là hình 18a.

Tương tự, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}=1$. Do đó đường thẳng $y=1$ là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}$. Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}$ là hình 18b.

Bài 4 trang 27 Toán 12 Tập 1

a) $y=\frac{x}{2-x}$

b) $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}$

c) $y=x-3+\frac{1}{x^2}$

Lời giải:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$.

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\frac{x}{2-x}=-1$

Mặt khác, $\{\begin{array}{l}\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{x}{2-x}=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 2^{+}}{lim}y=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{x}{2-x}=-\mathrm{\infty }\end{array}$

Vậy đường thẳng $y=-1$ và $x=2$ lần lượt là đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x}{2-x}$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{-}}{lim}y=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=+\mathrm{\infty }\end{array}$

Mặt khác, $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}=2x-1+\frac{1}{x-1}$

Xét $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(2x-1\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x-1}=0$

Vậy đường thẳng $x=1$ và đường thẳng $y=2x-1$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2-3x+2}{x-1}$

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}\underset{x\to 0^{-}}{lim}y=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}y=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\left(x-3+\frac{1}{x^2}\right)=+\mathrm{\infty }\end{array}$.

Xét$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left[y-\left(x-3\right)\right]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2}=0$$

Vậy đường thẳng $x=0$ và đường thẳng $y=x-3$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=x-3+\frac{1}{x^2}$

Bài 5 trang 27 Toán 12 Tập 1

$S\left(x\right)=200\left(5-\frac{9}{2+x}\right)$ trong đó $x\ge 1$.

a) Xem $y=S\left(x\right)$ là một hàm số xác định trên nửa khoảng $[1;+\mathrm{\infty })$, hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó.

b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) khi x đủ lớn.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}S\left(x\right)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}S\left(x\right)=1000$

Vậy đường thẳng $y=1000$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $S\left(x\right)$

b) Khi x đủ lớn thì số lượng sản phẩm bán được của công ti đó trong tháng x sẽ gần đạt được 1000 sản phẩm