Lý thuyết Tập hợp và các phép toán trên tập hợp - Toán 10 Kết nối tri thức

 Lý thuyết Toán 10 Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 10 Bài 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp

1.1. Tập hợp

• Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:

Cách 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2. Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

• a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S.
• a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là n(S).

Ví dụ:

- Cho tập hợp A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2, lớn hơn 5 và nhỏ hơn 15.

+ Ta mô tả tập hợp A bằng hai cách như sau:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp: A = {6; 8; 10; 12; 14};

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phẩn tử: A = {| n ⁝ 2, 5 < n < 15}.

+ Tập hợp A có 5 phần tử, ta viết: n(A) = 5.

+ 10 thuộc tập hợp A, ta viết 10 ∈ A.

+ 15 không thuộc tập hợp A, ta viết 15 ∉ A.

• Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là .

Ví dụ:

+ Tập hợp các nghiệm của phương trình x² + 1 = 0 là tập rỗng;

+ Tập hợp những người sống trên Mặt Trời là tập rỗng.

1.2. Tập hợp con

• Nếu mọi phần tử của tập hợp T đều là phần tử của tập hợp S thì ta nói T là một tập hợp con (tập con) của S và viết là T ⊂ S (đọc là T chứa trong S hoặc T là tập con của S).

- Thay cho T ⊂ S, ta còn viết S ⊃ T (đọc là S chứa T).

- Kí hiệu T ⊄ S để chỉ T không là tập con của S.

Nhận xét:

- Từ định nghĩa trên, T là tập con của S nếu mệnh đề sau đúng:

∀ x, x ∈ T ⇒ x ∈ S.

- Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

• Người ta thường minh họa một tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín, gọi là biểu đồ Ven.

Minh họa T là một tập con của S như sau:

Ví dụ: Cho các tập hợp: T = {2; 3; 5}, S = {2; 3; 5; 7; 9}, M = {2; 3; 4; 5}.

- Tập hợp T là tập con của tập hợp S (do mọi phần tử của T đều thuộc S).

- Tập hợp M không là tập hợp con của tập hợp S (do có phần tử 4 thuộc M nhưng không thuộc S).

1.3. Hai tập hợp bằng nhau

- Hai tập hợp S và T được gọi là hai tập hợp bằng nhau nếu mỗi phần tử của T cũng là phần tử của tập hợp S và ngược lại. Kí hiệu là S = T.

- Nếu S ⊂ T và T ⊂ S thì S = T.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp: S = {n | n là bội chung của 2 và 3; n < 20} và T = {n | n là bội của 6; n < 20}.

Ta có: 2 = 2, 3 = 3

⇒ BCNN(2; 3) = 2.3 = 6

⇒ BC(2; 3) = B(6) ={0; 6; 12; 18}

⇒ S = {0; 6; 12; 18}

Ta có các bội của 6 và nhỏ hơn 20 là: 0; 6; 12; 18.

T = {0; 6; 12; 18}.

Vậy S = T.

2. Các tập hợp số

2.1. Mối quan hệ giữa các tập hợp số

- Tập hợp các số nguyên ℤ gồm các số tự nhiên và số nguyên âm:

- Tập hợp các số hữu tỉ ℚ gồm các số được viết dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$, với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0.

Số hữu tỉ còn được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

- Tập hợp các số thực ℝ gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Số vô tỉ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

- Mối quan hệ giữa các tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Ví dụ: Cho tập hợp B = {– 1; 2; 4; 10}.

- Tập hợp B chứa số – 1 không phải là số tự nhiên nên B không là tập con của ℕ.

- Tập hợp B gồm các số nguyên: – 1; 2; 4; 10 nên B là tập con của ℤ.

- Các số nguyên cũng là các số hữu tỉ và cũng là các số thực, nên B cũng là tập con của ℚ và ℝ.

2.2. Các tập con thường dùng của ℝ

- Một số tập con thường dùng của tập số thực ℝ:

+ Khoảng:

$\left(a;b\right)=\left.x\in ℝ|a<x<b\right\}$

$\left(a;+\infty \right)=\left.a\in ℝ|x>a\right\}$

$\left(-\infty ;b\right)=\left.x\in ℝ|x<b\right\}$

$\left(-\infty ;+\infty \right)$

+ Đoạn

$\left.a;b\right]=\left.x\in ℝ|a\le x\le b\right\}$

+ Nửa khoảng

$\left.a;b\right)=\left.x\in ℝ|a\le x<b\right\}$

$\left(a;b\right]=\left.x\in ℝ|a<x\le b\right\}$

$\left.a;+\infty \right)=\left.x\in ℝ|x\ge a\right\}$

$\left(-\infty ;b\right]=\left.x\in ℝ|x\le b\right\}$

- Kí hiệu + ∞: Đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng).

- Kí hiệu – ∞: Đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).

- a, b gọi là các đầu mút của đoạn, khoảng hay nửa khoảng.

Ví dụ:

+ Ta có: 5 < x ≤ 10 thì ta viết x ∈ (5; 10].

+ Ta có: D = {x $\in ℝ$| x < 3} = (– ∞; 3).

3. Các phép toán trên tập hợp

3.1. Giao của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp S và T gọi là giao của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∩ T.

S ∩ T = {x | x ∈ S và x ∈ T}.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp: A = {5; 7; 8} và B = {1; 2; 4; 5; 8}.

Giao của 2 tập hợp trên là tập hợp C = A ∩ B = {5; 8}.

3.2. Hợp của hai tập hợp

- Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp S hoặc thuộc tập hợp T gọi là hợp của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∪ T.

S ∪ T = {x | x ∈ S hoặc x ∈ T}.

Ví dụ: Cho 2 tập hợp: S = {1; 2; 3; 5} và T = {2; 4; 6; 7}.

Tập hợp là hợp của hai tập hợp trên là K = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

3.3. Hiệu của hai tập hợp

- Hiệu của hai tập hợp S và T là tập hợp gồm các phần tử thuộc S nhưng không thuộc T, kí hiệu là S \ T.

S \ T = {x | x ∈ S và x ∉ T}.

- Nếu T ⊂ S thì S \ T được gọi là phần bù của T trong S, kí hiệu C_ST.

Chú ý: .$C_{s}S=\varnothing$

Ví dụ: Cho các tập hợp: S = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8}; T = {4; 5; 6; 7; 8; 9}; X = {x | x là các số nguyên dương nhỏ hơn 9}. Tìm các tập hợp sau: S \ T; T \ S; X \ S.

Ta có: S \ T = {1; 2; 3};

T \ S = {6; 9}.

Ta lại có: X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Vì mọi phần tử của tập S đều thuộc tập X nên S ⊂ X.

Phần bù của S trong X là X \ S = C_XS = {6}.

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

a) [– 3; 1) ∪ (0; 4];

b) (− 2; 15) ∪ (3; + ∞);

c) (− 12; 3] ∩ [− 1; 4];

d) ℝ \ (2; + ∞).

Hướng dẫn giải

a) [– 3; 1) ∪ (0; 4] = [– 3; 4]

b) (− 2; 15) ∪ (3; + ∞) = (− 2; +∞)

c)(− 12; 3] ∩ [− 1; 4] = [− 1; 3]

d) ℝ \ (2; + ∞) = (− ∞; 2]

Bài 2. Hãy viết tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử.

a) A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 4 và nhỏ hơn 20.

b) B là tập hợp các tỉnh thuộc vùng Bắc Trung Bộ.

Hướng dẫn giải

a) Các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 20 là: 0, 4, 8, 12, 16.

Ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử như sau:

A = {0; 4; 8; 12; 16}.

Tập hợp A có 7 phần tử, ta viết n(A) = 5.

Ngoài ra ta cũng có thể viết tập hợp A bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng là:

A = {x $\in \mathbb{N}$| x ⁝ 4; x < 20}.

b) Các tỉnh thuộc vùng Bắc Trung Bộ là: Thanh Hóa, Nghệ An, Hà Tĩnh, Quảng Bình, Quảng Trị.

Do đó: B = {Thanh Hóa; Nghệ An; Hà Tĩnh; Quảng Bình; Quảng Trị}.

Tập hợp B có 5 phần tử, ta viết n(B) = 5.

Bài 3. Cho các tập hợp: $A=\left.x\in \mathbb{N}|x⋮3,x<10\right\}$và $B=\left.x\in \mathbb{N}|x⋮2,x<10\right\}$.

a) Viết tập hợp A và B bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp.

b) Xác định các tập hợp A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.

Hướng dẫn giải

a) Vì $A=\left.x\in \mathbb{N}|x⋮3,x<10\right\}$nên A là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 3 và nhỏ hơn 10.

Do đó: A = {0; 3; 6; 9}.

Vì $B=\left.x\in \mathbb{N}|x⋮2,x<10\right\}$nên B là tập hợp các số tự nhiên chia hết cho 2 và nhỏ hơn 10.

Do đó: B = {0; 2; 4; 6; 8}.

b) A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B} = {0; 6};

A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B} = {0; 2; 3; 4; 6; 8; 9};

A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B} = {3; 9};

B \ A = {x | x ∈ B và x ∉ A} = {2; 4; 8}.

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4.Cho A = {0; 1; 2; 3; 4}; B = {2; 3; 4; 5; 6}. Tìm tập $\left(\text{A}\backslash \text{B}\right)\cup \left(\text{B}\backslash \text{A}\right)$

A. {5; 6};

B. {1; 2};

C. {2; 3; 4};

D. {0; 1; 5; 6}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có tập hợp A\B là tập các phần tử thuộc tập A nhưng không thuộc tập B nên $\left(\text{A}\backslash \text{B}\right)=\text{{0;\hspace{0.17em}1}}$.

Tập hợp B\A là tập các phần tử thuộc tập B nhưng không thuộc tập A nên $\left(\text{B}\backslash \text{A}\right)=\text{{}5;\text{\hspace{0.17em}}6\}$.

.$\Rightarrow \left(\text{A}\backslash \text{B}\right)\cup \left(\text{B}\backslash \text{A}\right)=\left.0;\text{\hspace{0.17em}}1;\text{\hspace{0.17em}}5;\text{\hspace{0.17em}}6\right\}$

Bài 5.Một lớp học có 16 học sinh học giỏi môn Toán; 12 học sinh học giỏi môn Văn; 8 học sinh vừa học giỏi môn Toán và Văn; 19 học sinh không học giỏi cả hai môn Toán và Văn. Hỏi lớp học có bao nhiêu học sinh?

A. 31;

B.54;

C.39;

D.47.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là tập hợp gồm các học sinh trong lớp; B là tập số học sinh giỏi Toán; C là tập số học sinh giỏi Văn; D là tập số học sinh không giỏi cả 2 môn Toán và Văn.

Khi đó n(B) = 16, n(C) = 12, n(B∩C) = 8, n(D) = 19.

Số học sinh trong lớp giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn là:

n(B∪C) = n(B) + n(C) - n(B∩C) = 16 + 12 – 8 = 20.

Ta có A = $(B\cup C)\cup D$

Số học sinh trong lớp là: n(A) = n(B∪C) + n(D) = 20 + 19 = 39 (học sinh).

Được thể hiện trong biểu đồ Ven như sau:

Bài 6.Cho hai tập A = [–1 ; 3); B = [a; a + 3]. Với giá trị nào của a thì .

A. $\begin{array}{l}\text{a}\ge 3\\ \text{a}<-4\end{array}$;

B. $\begin{array}{l}\text{a}>3\\ \text{a}<-4\end{array}$;

C. $\begin{array}{l}\text{a}\ge 3\\ \text{a}\le -4\end{array}$;

D. $\begin{array}{l}\text{a}>3\\ \text{a}\le -4\end{array}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

.$\text{A}\cap \text{B}=\varnothing \iff \begin{array}{l}\text{a}\ge 3\\ \text{a}+3<-1\end{array}\iff \begin{array}{l}\text{a}\ge 3\\ \text{a}<-4\end{array}$