Sách bài tập Toán 9 Bài 9 (Kết nối tri thức): Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Giải SBT Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 3.15 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Tính giá trị biểu thức$P={\left(\sqrt{20}+2\sqrt{45}-3\sqrt{80}\right)}^2$.

Lời giải:

$P={\left(\sqrt{20}+2\sqrt{45}-3\sqrt{80}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{4.5}+2\sqrt{9.5}-3\sqrt{16.5}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{2^2.5}+2\sqrt{3^2.5}-3\sqrt{4^2.5}\right)}^2$

$={\left(2\sqrt{5}+2.3\sqrt{5}-3.4\sqrt{5}\right)}^2$

$={\left(2\sqrt{5}+6\sqrt{5}-12\sqrt{5}\right)}^2$

$={\left(-4\sqrt{5}\right)}^2=42.5=80$

Vậy P = 80.

Bài 3.16 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:$9\sqrt{2};8\sqrt{3};5\sqrt{6};4\sqrt{7}$

Lời giải:

Ta có:

$9\sqrt{2}=\sqrt{9^2.2}=\sqrt{162}$

$8\sqrt{3}=\sqrt{8^2.3}=\sqrt{192}$

$5\sqrt{6}=\sqrt{5^2.6}=\sqrt{150}$

$4\sqrt{7}=\sqrt{4^2.7}=\sqrt{112}$

Do $\sqrt{112}<\sqrt{150}<\sqrt{162}<\sqrt{192}$ nên $4\sqrt{7}<5\sqrt{6}<9\sqrt{2}<8\sqrt{3}$

Bài 3.17 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Thực hiện phép tính${\left(\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}+\sqrt{175}-2\sqrt{2}\right)}^2.$

Lời giải:

${\left(\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}+\sqrt{175}-2\sqrt{2}\right)}^2$

$={\left(\frac{\sqrt{8}-\sqrt{7}}{\left(\sqrt{8}+\sqrt{7}\right)\left(\sqrt{8}-\sqrt{7}\right)}+\sqrt{25.7}-\sqrt{2^2.2}\right)}^2$

$={\left(\frac{\sqrt{8}-\sqrt{7}}{8-7}+\sqrt{5^2.7}-\sqrt{8}\right)}^2$

$={\left(\sqrt{8}-\sqrt{7}+5\sqrt{7}-\sqrt{8}\right)}^2$

$={\left(4\sqrt{7}\right)}^2=42.7=112.$

Bài 3.18 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Thực hiện phép tính$\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}.$

Lời giải:

$\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}$

$=\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{9-\mathrm{2.3.2}\sqrt{2}+8}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{9+\mathrm{2.3.2}\sqrt{2}+8}}$

$=\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{3^2-\mathrm{2.3.2}\sqrt{2}+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{3^2+\mathrm{2.3.2}\sqrt{2}+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{{\left(3-2\sqrt{2}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{{\left(3+2\sqrt{2}\right)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{1}{3-2\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{1}{3+2\sqrt{2}}}$

$=\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)}}-\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(3+2\sqrt{2}\right)}}$

$=\sqrt{\frac{2+2\sqrt{2}.1+1}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}}-\sqrt{\frac{2-2\sqrt{2}.1+1}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}}$

$=\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2}{9-8}}-\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}{9-8}}$

$=\left(\sqrt{2}+1\right)-\left(\sqrt{2}-1\right)=2$

Bài 3.19 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1:Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

$P=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mathrm{0,2}}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

$=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\left(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}$

$=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left.\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\right]+\left(\sqrt{5}-1\right)\left.\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\right]}{\left.\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\right]\left.\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\right]}$

$=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left.\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\right]+\sqrt{5}.\left.-\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\right]}{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-5}$

$=\frac{2\sqrt{5}\left(1+\sqrt{3}\right)-2\sqrt{5}}{4+2\sqrt{3}-5}$$=\frac{2\sqrt{5}\left(1+\sqrt{3}-1\right)}{2\sqrt{3}-1}$

$=\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}$

$\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}+2=\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{-1+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Do đó $P=\frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}.\frac{2\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}.\sqrt{\mathrm{0,2}}=2\sqrt{\mathrm{5.0,2}}=2\sqrt{1}=2$

Vậy P có giá trị là một số nguyên (P = 2).

Bài 3.20 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1:

a) Trục căn ở mẫu của biểu thức $\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$

b) Tính giá trị biểu thức $P=x\left(x^4-6x^2+1\right)$ tại $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$

Lời giải:

a) $\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$$=\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)}{\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)}$

$=\frac{6\sqrt{2}+4+3+\sqrt{2}}{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-1}$$=\frac{7\sqrt{2}+7}{8-1}$

$=\frac{7\left(\sqrt{2}+1\right)}{7}$$=\sqrt{2}+1$

b) Theo câu a, ta có $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$

Khi đó ta có $x^2={\left(\sqrt{2}+1\right)}^2=3+2\sqrt{2}$

$P=x\left(x^4-6x^2+1\right)$

$=x\left(x^4-\mathrm{2.3.}{x}^2+9-8\right)$

$=x\left.{\left(x^2-3\right)}^2-8\right]$

$=\left(\sqrt{2}+1\right)\left.{\left(3+2\sqrt{2}-3\right)}^2-8\right]$

$=\left(\sqrt{2}+1\right)\left.{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-8\right]=0$

Vậy với $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$ thì P = 0.

Lý thuyết Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu a là một số và b là một số không âm thì $\sqrt{a^2.b}=\left|a\right|\sqrt{b}$.

Ví dụ:

$\sqrt{45}=\sqrt{3^2.5}=3\sqrt{5}$;

$\sqrt{243a}=\sqrt{9^2.3a}=9\sqrt{3a}$.

Với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

Ví dụ: $\sqrt{\frac{4}{7}}=\sqrt{\frac{4.7}{7^2}}=\sqrt{{\left(\frac{2}{7}\right)}^2.7}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$.

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

- Nếu a và b là hai số không âm thì $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$. - Nếu a là số âm và b là số không âm thì $a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}$.

Ví dụ:

$5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2}=\sqrt{50}$;

Với $a\ge 0$ thì $-2\sqrt{a}=-\sqrt{2^2.a}=-\sqrt{4a}$.

3. Trục căn thức ở mẫu

Cách trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$. - Với các biểu thức A, B, C mà $A\ge 0,A\ne B^2$, ta có: $\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C\left(\sqrt{A}-B\right)}{A-B^2};\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C\left(\sqrt{A}+B\right)}{A-B^2}$. - Với các biểu thức A, B, C mà $A\ge 0,B\ge 0,A\ne B$, ta có: $\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)}{A-B};\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)}{A-B}$.

Ví dụ:

$\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$;

$\frac{a}{3-2\sqrt{2}}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{\left(3-2\sqrt{2}\right).\left(3+2\sqrt{2}\right)}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{9-8}=\left(3+2\sqrt{2}\right)a$.

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẩu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Ví dụ:

$\begin{array}{l}A=2\sqrt{3}-\sqrt{75}+\sqrt{{\left(1-\sqrt{3}\right)}^2}\\ =2\sqrt{3}-\sqrt{{3.5}^2}+\left|1-\sqrt{3}\right|\\ =2\sqrt{3}-5\sqrt{3}+\sqrt{3}-1\\ =-1-2\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}B=x\sqrt{x}-\frac{x^2-x}{\sqrt{x}+1}\\ =x\sqrt{x}-\frac{\left(x^2-x\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =x\sqrt{x}-\frac{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\\ =x\sqrt{x}-\frac{x\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{x-1}\\ =x\sqrt{x}-x\left(\sqrt{x}-1\right)\\ =x\sqrt{x}-x\sqrt{x}+x\\ =x\end{array}$